ご回答誠に有難うございます。

> 工繊大の塚本です.
> Functional equation というのは一般的な用語で,
> どうでもこうでなければそう呼べないという
> 厳密な規定はありませんが, むしろ慣習で
> そう呼んだり, 呼ばなかったりするわけです.

了解いたしました。

>> fの定義域全体でf(x)+√g(x)=ch(x)^2の等式が成り立っても
>> 関数等式とは呼べないのでしょうか?
> f(x) = - \sqrt{g(x)} - c (h(x))^2 と書けるなら,
> 関数等式とは呼ばずに, それで f が定義されるとか,
> f は次の関数に一致するとか言えば良いわけです.

なるほど。

>> ん? f(x)=f(-x)もf(x)-f(-x)=0と書けば f(x)-f(-x)=0は
>> 関数等式とは呼べなくなってしまうのでしょうか?
> f が偶関数であれば f(x) - f(-x) = 0 は恒等的に成立する
> のですから, やはり関数等式と呼べます.

分かりました。

>> 一変数ではなく多変数の場合
>> ψ(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z),…,f_n(x,y,z))=0 とかでも
>> 関数等式と呼んでもいいのでしょうか?
>> それとψ初等演算でなくてもいいのでしょうか?
> 広い意味ではそれで良いでしょう.

了解いたしました。

>> うーん。ではどういう場合が面白いのでしょうか?
> それを用いて何が出来るかですね.
> 例えば, f が偶関数であることが分かれば,
> f の x > 0 での振る舞いだけから,
> f の x < 0 でも振る舞いが決まるわけです.
> 何かそういう御利益がないと詰まらないですね.

なるほど。そういうわけですね。

>> ゼータ関数はの定義域は{z∈C;Re(z)>1}の場合と
>> C全体の場合の2種類があるのでしょうか?
> ゼータ関数 \zeta(z) は,
> 「 Re(z) > 1 なる z においては絶対収束し,

という事はΣ_{n=1}^∞|1/n^z|∈Rで絶対収束するなら
Σ_{n=1}^∞1/n^z∈Cと普通に収束もしますね。

>   Re(z) > 1 で広義一様に収束する Dirichlet 級数
>   \sum_{n=1}^\infty 1/n^z で定義される正則関数」
> に Re(z) > 1 で一致する関数です.

つまり,ζ関数はRe(z)で広義一様収束する級数だったのですね。

するとζ関数の正式な定義は
『f(s):=Σ_{n=1}^∞ a_n/n^sをDirichlet級数とする時,
(i) dom(f)={s∈C;Re(s)>1},
(ii) {a_n}={1},
(iii) fは{s∈C;Re(s)>1}で広義一様収束する。
の3条件を満たす級数をゼータ関数と呼び,ζ:=fと記す』
となるのですね。

しかもζ関数は{s∈C;Re(s)>1}で微分可能(つまり正則)な性質を持つのですね。

> Re(z) > 1 で定義されたこの正則関数は

この正則関数とはζ関数の事を仰っているのですよね。

> 複素平面から z = 1 を除いた領域に
> 正則関数として解析接続されるので,

えーと、ζ関数は何の関数に解析接続されるのでしょうか?

> (そして z = 1 を一位の極として持つので,)

どうしてΣ_{n=1}^∞ 1/n^z=(Σ_{n=1}^∞ 1/n^1)が一位の極を持つと分かるのでしょうか?
Σ_{n=1}^∞ 1/n^zはどのようにLaurent展開できますでしょうか?

> そのように解析接続した関数を \zeta(z) としています.

すいません。よくわかりません。

>> それなら ゼータ関数 ζ:C→? の場合の定義域は何になるのでしょうか?
> 通常 \zeta(z) は C 上の有理型関数と考えます.

有理形関数の定義は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG
のDef570で,{z∈C;Re(z)>1}ではζ関数は正則なので(∵上記のご説明より)
{z∈C;Re(z)>1}
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/img004.jpg
では特異点を持たないのですよね。

> 正則関数としては C から z = 1 を除いた所で定義された
> 関数となります.

つまり,ζ関数の定義域は通常{z∈C;Re(z)>1}だが
正則関数としてのζ関数の定義域はC＼{1}となるのですね。