ご回答誠に有難うございます。

>> "無限回取る"(?) つまりゼータ関数は写像ではなく多価関数なのですね。
> 違います. 零でない複素数 w に対して,
> Re(s_i) > 1 を満たす無限個の s_1, s_2, ... , s_n, ...
> があって, w = \zeta(s_1) = \zeta(s_2) = \cdots = \zeta(s_n) = \cdots
> となると言っているのです.

Re(s_i) > 1 を満たす可算個のs_1, s_2, ... , s_n, ...に対して等しい像を取るのですね。

>> f(x)+√g(x)=ch(x)^2でg(x)とh(x)は既知関数であれば
>> f(x)+√g(x)=ch(x)^2は 関数等式であり,
> 普通そういうのは関数等式とは言いません.

fの定義域全体でf(x)+√g(x)=ch(x)^2の等式が成り立っても関数等式とは呼べないのでしょうか?

>> f(x)は求めれようが求めれなかろうが関係無いのですね。
> それはその通り.

なるほど。

>> なるほど。f(x)=f(-x)は既知関数が無くとも
>> このようなf(x)は幾通り求めれますね。
> f(-x) というのは g(x) = - x という関数と f の合成です.
> g という既知関数が入っています.

そうですね。

>> でも一応f(x)+g(x)+h(x)=0と表記すればこれも
>> 関数等式になるのでしょうか?
> 関数等式という以上, 関数の等式でないといけません.
> 関数が「恒等的に 0 という定値関数」と等しいのは
> 変数 x の全ての値で 0 になるときです.
> 今は全ての x で 0 になるわけではありませんから,
> 関数等式ではありません.

ん? f(x)=f(-x)もf(x)-f(-x)=0と書けばf(x)-f(-x)=0は関数等式とは呼べなくなってしまうのでしょうか?

>> あっ!関数等式の各関数の定義域は 任意の実数もしくは
>> 任意の複素数でなければならないのですね。
> 定義域は共通していればなんでも良いでしょうが,
> その定義域の何処でも等号が成立していなければ
> ならないということです.

関数等式に現れる各関数の定義域は一致してなければならないのですね。

>> 特別な定義域xでのみ成り立つものは関数等式とは呼べないのですね。
> 特別な変数の値についてのみ成り立つものは
> 関数等式とは呼べません.

了解です。

>> つまり,fを求めれようが求めれなかろうが
>> fの定義域が任意の実数もしくは任意の複素数であればいいのですね。
> f の定義域が問題なのではなくて,
> その定義域の何処でも等号が成立することが
> 重要です.

なるほどです。

>> 漸化式の場合は任意の自然数が定義域
>> なので関数等式とは呼べませんね。
> 自然数の上で定義された関数についての関数等式と
> 呼んでも構いません. まあ, 余りそういう言い方は
> しませんが.

了解しました。

>> すいません。つまり ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0の定義域は
>> 任意の実数もしくは任意の複素数で f_i以外のn-1個の関数
>> f_1,f_2,…,f_{i-1},f_{i+1},…,f_nらは既知関
>> 数、 f_iは未知関数ならば f_iば求めれようが求めれない場合には
>> f_i が求められようがそうでなかろうが, ということであれば,
>> ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0は関数等式と呼ぶことができるのですね?
> はい.

一変数ではなく多変数の場合
ψ(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z),…,f_n(x,y,z))=0
とかでも関数等式と呼んでもいいのでしょうか?
それとψ初等演算でなくてもいいのでしょうか?

> でもそれは余り面白くない場合のようです.

うーん。ではどういう場合が面白いのでしょうか?