ご回答誠に有難うございます。

>> "無限回取る"とはどういう意味でしょうか?
> ゼータは零でない任意の複素数を
> 無限個の異なる s  (Re(s) > 1) において
> その値として取る, のです.

"無限回取る"(?)
つまりゼータ関数は写像ではなく多価関数なのですね。

>> 振動とはΣ_{n=1}^∞1/n^s=lim_{k→∞}Σ_{n=1}^k 1/n^sの極限値が
> 振動する場合があるのか知りたかったのです。
> Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は Re(s) > 1 に
> おいて常に絶対収束します. その収束は Re(s) > 1 において
> 広義一様です.

そうでしたか。とても参考になります。

>> つまり,関数らから成り立っている等式で その中のある関数を求める事が
> 可能なものを関数等式と呼ぶのですね。
> だから違います. 問題としている関数以外は良く知られた
> 関数だけが出てくるというのでないと, あまり役に立ちませんが,
> 問題としている関数がその関数等式から決まるということは
> 全く要請されていません.

f(x)+√g(x)=ch(x)^2でg(x)とh(x)は既知関数であればf(x)+√g(x)=ch(x)^2は関数等式であり,
f(x)は求めれようが求めれなかろうが関係無いのですね。

>> g,hが既知の関数ならf(x)+√g(x)=ch(x)^2も関数等式と呼べ,
>> g,hが未知の場合はfを求めようがないので関数等式とは呼べず
>> ただの陰関数という訳ですね。
> 違います. g(x), h(x) が既知の関数の時,
> f(x) = h(x) f(g(x)) なら関数等式と呼べるでしょう.
> それから f(x) が決まる必要はありません.
> 例えば, f(x) = f(-x) は, f が偶関数であることを表す
> 関数等式ですが, このような f はいくらでもあるわけです.

なるほど。f(x)=f(-x)は既知関数が無くともこのようなf(x)は幾通り求めれますね。

>> f(x):=x^2,g(x):=x,h(x):=cと見立てれば
> f(x) = x^2 etc. なら既に f(x) は良く分かったものなので,
> f(x) についての性質を調べることにはあまり意味がありませんし,

でも一応f(x)+g(x)+h(x)=0と表記すればこれも関数等式になるのでしょうか?

>> x^2 + a x + c = 0はf(x)+ag(x)+h(x)=0と書けるの
> x^2 + a x + c = 0 は特別な x の値に対してしか
> 成立しませんから, 関数としての f, g, h について
> f + a g + h = 0 が成立しているわけでもありません.

あっ!関数等式の各関数の定義域は任意の実数もしくは任意の複素数でなければならないのですね。

>> 更にf(x):=x^2+ax+cと見立てればf(x)=0も関数等式と呼べると思ったのですが
> f(x) = x^2 + ax + c は「恒等的に零」なる関数 0 とは
> 違いますから,

そうですね。

> f = 0 は成立しません. つまり「関数等式 f = 0 」は
> 成立しません. 特別な変数 x の値について, f(x) = 0 が成り立つかも
> 知れないという意味で, 「方程式 f(x) = 0 」には意味があるでしょう.

特別な定義域xでのみ成り立つものは関数等式とは呼べないのですね。

>> (何の前提もなくいきなりf(x)=0で関数f(x)を求めよ
>> と言われても 求めようがありませんが)
> だから, f を求めるということとは関係ありません.

つまり,fを求めれようが求めれなかろうがfの定義域が任意の実数もしくは任意の複素数であればいいのですね。

>> つまり纏めると
> 纏まっていませんが,
>> 簡単な例としては漸化式とかも関数等式と呼べ,

漸化式の場合は任意の自然数が定義域なので関数等式とは呼べませんね。

>>一般的にはf_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x)が 四則演算・冪・階乗
>> などが組み合わさった等式, つまり
>> ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0という風に表されていて,
>> f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x)の関数らからある関数(ら)が求めれる場合のみ
>> ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0は関数等式であると呼べるのですね?
> どこからそんな話が出てくるのでしょうか.

すいません。つまり
ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0の定義域は任意の実数もしくは任意の複素数で
f_i以外のn-1個の関数f_1,f_2,…,f_{i-1},f_{i+1},…,f_nらは既知関数、f_iは未知関数ならば
f_iば求めれようが求めれない場合には
ψ(f_1(x),f_2(x),f_3(x),…,f_n(x))=0は関数等式と呼ぶことができるのですね?