工繊大の塚本です.

In article <29ea2605-8e9c-4cc8-b93c-05c7832363e5@v5g2000pre.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> なるほど。可算劣加法性は測度でも通用するのですね。
> 逆に可算加法性は外測度では必ずしも通用するとは限らないのですよね。
> これは要注意ですね。
> 可算劣加法性が測度でも通用するなら単調性も測度で通用しますよね?
> そうしますと外測度での性質は測度ででも使えるわけですね。

その通りです. 可算劣加法性, 単調性は, 測度に対して
当然要求されるべき性質ではありませんか.

> 所で,μ(E)=ν(E)が言える理由が分かりません。
> E∈Aならμとνの定義からμ(E)=ν(E)が言えますが
> 今,E=∪[j=1..∞]E_j (但し,E_j∈A:集合体)なので集合体の定義から
> 有限和集合に関してしか閉じていませんよね。
> どうしてμ(E)=ν(E)が言えるのでしょうか?

それを

  ... , note that if E = ∪ E_j, then the fact that ν and μ are
  two measures that agree on A gives

    ν(E) = lim_{n→∞} ν(∪_{j=1}^n E_j)
          = lim_{n→∞} μ(∪_{j=1}^n E_j) = μ(E).

は注意しているのです.

  ( E_j ∈ A のとき,) ∪ E_j を E とすれば,
   ν と μ は A の上では一致する二測度であるから,

    ν(E) = lim_{n→∞} ν(∪_{j=1}^n E_j)
          = lim_{n→∞} μ(∪_{j=1}^n E_j) = μ(E)

  となる

わけです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp