ご回答大変ありがとうございます。


>> ここでどうして不等号が成立するのでしょうか?
>> νは測度であって外測度ではないですよね。
>> なので可算劣加法性は使えないと思います。
> 測度なので可算加法性があります. E_j らが交わりを
> 持たなければ等号が成立します. ここでは E_j らは
> 交わりを持つ場合もありますので, 不等号になります.
>  Lemma 1.4 の証明中にもその議論があります.

なるほど。可算劣加法性は測度でも通用するのですね。
逆に可算加法性は外測度では必ずしも通用するとは限らないのですよね。これは要注意ですね。
可算劣加法性が測度でも通用するなら単調性も測度で通用しますよね?
そうしますと外測度での性質は測度ででも使えるわけですね。

キチンと書けば
ν(F)≦ν(∪[j=1..∞]E_j)(∵単調性) ≦Σ[j=1..∞]ν(E_j)
(∵可算劣加法性) =Σ[j=1..∞]μ_0(E_j) (∵νの定義)
となるのですね。


>> 『=Σ[j=1..∞]μ_0(E_j) (∵E_j∈Aよりν(E_j)=μ_0(E)(∵νの定義)).
：
>  ν(F) ≦ Σ_{j=1}^∞ μ_0(E_j) となっているなら,
>  ν(F) ≦ inf { Σ_{j=1}^∞ μ_0(E_j) | F ⊂ ∪_{j=1}^∞ E_j, E_j ∈ A }
> ですから, 明らかです.

納得できました。


>> 『逆の不等号を示す為に
>> もしE=∪[j=1..∞]E_jなら
：
>> と考えたのですがこれで正しいでしょうか?
> 記述に混乱がありますが, そういうことです.

ありがとうございます。了解致しました。


>> 『もし,集合E_jをμ(E)≦μ(F)+ε…②となるように選べば』
>> ここでどうして任意のεに対してこのようにE_jが採れるという
：
>   μ(F) ≦ μ(E) ≦ Σ_{j=1}^∞ μ_0(E_j) < μ(F) + ε
> となります.

そうでした。外測度の定義を冷静に見直せば理解できました。


>> 『μ(F)<∞という仮定はμ(E＼F)≦ε…③を意味する。
>> 従って,
>> μ(F)≦μ(E)=ν(E)=ν(E)+ν(E＼F)
：
>> ここでμ(F)≦μ(E)成立の理由が分かりません。
>> μ(F)≦μ(E)は可算劣加法性は使えませんよね。
>  μ は測度ですから, F ⊂ E なら μ(F) ≦ μ(E) です.

外測度の性質が測度で使えるのですね。これは重宝します。
所で,μ(E)=ν(E)が言える理由が分かりません。
E∈Aならμとνの定義からμ(E)=ν(E)が言えますが
今,E=∪[j=1..∞]E_j (但し,E_j∈A:集合体)なので集合体の定義から有限和集合に関してしか閉じていませんよね。
どうしてμ(E)=ν(E)が言えるのでしょうか?


>> 『εは任意なのでμ(E)≦μ(F)が分かる。』
>> ここは上の不等式μ(F)≦ν(E)+μ(E＼F)≦μ(F)+εより
：
>   μ(E_j) ≦ Σ_{k=1}^∞ μ_0(E_{j,k}) < μ(E_j) + 1 < ∞
> となるように取れるからです. X = ∪_{j,k=1}^∞ E_{j,k}
> ですから, 元から E_j ∈ A としておいても良かったわけです.

ありがとうございます。納得できました。