ご回答誠に有難うございます。


>> まず,f^-1(0)は閉集合(∵{0}は閉集合でfは連続関数)だから,
>> {Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ}_{ζ∈C(y_i,ε)}を
> C \times C の Ball をどう定義しているのか分かりませんし,

Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ):={w∈C^2;dist((x_0,ζ),w)<ρ_ζ}という半径ρ_ζの(x_0,ζ)を中心とするunpuncturedな開球の内部を表してます。


>> ∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ}∩f^-1(0)=φという
>> 半径がρ_ζの開球からなるコンパクト集合{x_0}×C(y_i,ε)への開被覆とすると,
>> ∃{Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j});ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l} such that
>> {x_0}×C(y_i,ε)⊂∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})が採れる。
>> この時,0<∃ρ_i<min{ρ_j;j=1.2,…l} such that
>> G_i:=∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ_i)⊂∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j}).
> ここで定義している G_i は C \times C の部分集合ですね.

はい,左様です。


> それは何故右の有限被覆の和集合に含まれているのでしょうか.

∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})は{x_0}×C(y_i,ε)の有限開被覆で,然も連結ですよね。
この時,min{ρ_j;j=1.2,…l}よりも十分小さいρ_iを採れば,
∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})内を{x_0}×C(y_i,ε)に中心(x_0,ζ)が沿って潜れる
{x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆{Ball[(x_0,ζ),ρ_i)}_{ζ∈C(y_i,ε)}が採れると思いました。


>> そこで,G_i:=Disc[x_0,ρ_i)と置くと,
> この G_i は C の部分集合ですね. 同じには置けません.

失礼致しました。

「∀x∈proj_{1}G_i:={x∈C;(x,y)∈G_i}に対して,#{y∈Isd(C(y_i,ε));f(x,y)=0}=1/(2πi)∮_{C(y_i,ε)}(d/dyf(x,y))/f(x,y)dy:=F_i(x)∈Nという等式が成り立つ(∵偏角の定理)。
F_i(x)はproj_{1}G_iにて連続で然も自然数だからy_iのk_i位の零点とすると,#f(proj_{1}G_i,Isd(C(y_i,ε)))={k_i}.」 


と訂正させていただきます。

これで如何でしょうか? 


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