工繊大の塚本です.

2016年1月3日日曜日 8時24分50秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> f(x,y):=y^m+b_{m-1}(x)y^{m-1}+…+b_0(x)
> (但し,b_{m-1}(x),…,b_0(x)はx_0の近傍nbhd[x_0,δ_0)で連続な関数)の時,
> 0<∀ε<ε_0に対して,0<∃δ<δ_0;0 \not∈f(Disc[x_0,δ),C(y_i,ε))。
> を示すのでした。
> 
> まず,f^-1(0)は閉集合(∵{0}は閉集合でfは連続関数)だから,
> {Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ}_{ζ∈C(y_i,ε)}を

 C \times C の Ball をどう定義しているのか分かりませんし,
 { [ } ではバランスが取れていないようですが,
まあ良いでしょう.

> ∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ}∩f^-1(0)=φという
> 半径がρ_ζの開球からなるコンパクト集合{x_0}×C(y_i,ε)への開被覆とすると,
> ∃{Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j});ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l} such that 
> {x_0}×C(y_i,ε)⊂∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})が採れる。
> この時,0<∃ρ_i<min{ρ_j;j=1.2,…l} such that 
> G_i:=∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ_i)⊂∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j}).

ここで定義している G_i は C \times C の部分集合ですね.
それは何故右の有限被覆の和集合に含まれているのでしょうか.

> そこで,G_i:=Disc[x_0,ρ_i)と置くと,

この G_i は C の部分集合ですね. 同じには置けません.

> ∀x∈G_iに対して,
> #{y∈Isd(C(y_i,ε));f(x,y)=0}
> =1/(2πi)∮_{C(y_i,ε)}(d/dyf(x,y))/f(x,y)dy:=F_i(x)∈Nという
> 等式が成り立つ(∵偏角の定理)。

このことには G_i? \times C(y_i, \epsilon) 上で
 f(x, y) \neq 0 であることが必要であり,
それには G_i? \times C(y_i, \epsilon) が上の有限被覆の和集合に
含まれていることを使いたいようですが,
それは未だ証明されていないようです.

御再考下さい.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp