ご回答誠に有難うございます。


>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_pole__01.pdf
>> で宜しかったでしょうか?
>> (IS(f)はfの孤立特異点の集合を表してます)
> 和文のコピーの所は間違ってはいませんが,
> その前の円環領域で正則な関数のローラン展開の r_1 = 0 の場合
> との関連が意識されていないとすれば, 理解ができているとは
> 言えないでしょう.

ん?
r_1=0の場合とは,円環自体が点になっている(Dは空集合)時でしょうか?
各書でのLaurent展開の定義では外円C_1の半径は正数と仮定されてるのですが。。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_great__01.jpg
>> ではいかがでしょうか?
> 定理の前提部分「 z_0 が f の真性特異点であるとき」の表現が
> 出鱈目ですね.

「fはz_0∈C∪{∞}で真性特異点を持つ時」では如何でしょうか?

>> んー、Picardの小定理はPicardの大定理の系だそうですが,
>> Picardの大定理でのz_0,δ,U_δをどのように見立てればいいのでしょうか?
> z_0 として無限遠点を取ることになります.

そうしますと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_great__02.jpg
というふうに大定理では「∪{∞}」が要るのですね。

> 全複素平面上で正則な関数は, リーマン球面上で考えるとき,
> 無限遠点の近傍から無限遠点を除いたところで正則になります.

リーマン球面は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_riemann_sphere__00.jpg
で
(全複素平面上)=(北極点を覗いた球面)
ですから,無限遠点の近傍から無限遠点を除いたところで正則になりますね。

Picardの大小定理を
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/picard_s_theorem__01.jpg
と書き下してみたのですが題意はこれで合ってますでしょうか(尚,Mrm(D)はD上の有理形関数の集合を表してます)?
大定理はfの定義域はCではなく,U_0＼{z_0}というCの真部分集合で仮定されてるのですが
一方,小定理ではfの定義域はCと仮定されていて,どのように小定理の証明ではどのように大定理を当て嵌めればいいのか混乱しております。

> 無限遠点がその関数の真性特異点になる場合とそうでない場合に
> 分けて考えることになることは Wikipedia にも書かれています.

これもちょっと混乱中です。

もしかして,大定理のfの定義域はC∪{∞}なのでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/picard_s_theorem__02.jpg
という具合に大定理のfの定義域がCとできるようにC∪{∞}⊃U_0∋z_0と無限遠点を追加したのですが,
この仮定でも大定理が成立つならば,小定理ではz_0=∞と解釈すればfの定義域はCで大定理を適用可能かと思います。
ただ(2)で無限遠点∞がfの真性特異点ではない場合,∞は除去可能特異点か極しかなり得ませんよね(∵集積特異点は明らかに有り得ない),この場合,どのように処理すればいいのでしょうか?

※ nbhd(z_0,C∪{∞})はpuncutured neighbourhood(z_0は含まない近傍)を表してます。 


>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__03.jpg
>> と訂正致しました。これならいかがでしょうか?
> 書かれていることが混乱しています.
> f は C^n 値関数ですか, C 値関数ですか.
> f は z_0 で定義されていますか, いませんか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__04.jpg
でした。失礼致しました。

>> [Prop192.10006305(Lebesgue's theorem(C version))]
>> [Prop192.1000631(Lebesgue's theorem(C^n version))]
>> はあと
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006303__00.pdf
>> という具合に[Prop192.10006303]を完成させねばならないのですがどうしても,
>> IがC^n空間でのLebesgue可測集合
>> ⇔{(Re(z),Im(z))∈R^2;z∈I}は(R^n)^2空間でのLebesgue可測集合
>> を示せばならないのですがなかなか上手くいきません
>> (明らかなようですがいざ証明するとなると…)。
>> どうすれば示せますでしょうか?
> C^n の矩形集合には R^{2n} の矩形集合が対応して同じ測度を持ち,

C^nやR^{2n}内に在る矩形集合の測度とは各矩形の非平行な辺全て(縦,横,高,…)を掛けあわせたものの合計で求まる(値域が[0,+∞]の)関数の事ですよね。
なので例えばC内の長方形の測度値(面積)は縦×横

> C^n のボレル集合には R^{2n} のボレル集合が対応して同じ測度を持ち,
> 両者で同じ完備化をしているのですから
> 一致するのは当たり前です.

仰る通りでした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__15.JPG
>> でいいのですね。
> 目標が分かっていますか.
> 目標はは S の元 (a_n) で \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \ell でないもの
> 一つの存在を示すことで, その為に,
> S の元 (a_n) で, どの n についても,
> f(a_n) が Ball(\ell, \epsilon) に入らないもの
> 一つの存在を示そうとしている筈ですが,
> その目標に [1.8] は合致していますか.

は,はい。。

ん? 今,lim_{s→s_0}f(s,x)≠\ellと否定してみて,[1.4]の矛盾を引き出そうとしています。
[1.8]を経て[1.9]にて仮定[1.4]を満足しない(a_n)∈Sが取れました。
という論法なのですが。。勘違いしてますでしょうか?

>>> 普通, R^2 の Lebesgue 可測集合の定義はそれとは違います.
>>> その積σ集合体自体は完備にならないので, それの完備化を
>>> 考えます.
>> えっ?
>> Lbg(R):=span(T_{R})∪{N;Nはλでの零集合}
>> (但し,λは一次元の実Lebesgue測度)に於いて
>> 完備測度空間(R,Lbg(R),λ)と(R,Lbg(R),λ)との
>> 積測度空間(R^2,Lbg(R)<×>Lbg(R),λ^2)の
>> 積σLebesgue集合体Lbg(R)<×>Lbg(R)をLbg(R^2)と定義したのですが。
> その定義では R^2 上の Lebesgue 測度が完備ではなくなります.

そうですね。完備性を作るには
Lbg(R^2):=Lbg(Brl(R)<+>Brl(R))
と定義せねばなりませんでした。

> 前にも指摘しましたが, R の非可測集合 A に対して,
> A \times {0} は 1 次元の Lebesgue 可測集合二つの積から生成される
> 2 次元の \sigma-集合体には入りませんが,
> その 2 次元の \sigma-集合体上に一先ず定義された測度については
> 測度零です.

そうでした。
A×{0}⊂R×{0}←Lebesgue可測
かつ
μ(R×{0})=μ_1(R)μ_2({0})(∵積測度の定義) =+∞・0=0(∵定義)
となるのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
>> と証明できました。
> 空間の topology というのは空間の開集合全体のことであった筈ですが,

説明が足りませんでした。
T_{E^n}というのはE^n内のn次元開区間(つまり,開区間n個の直積集合)全体を表し,
O_{E^n}というのはE^n内の開集合全体を表しています。


> 一体 [Prop192.10006236] の証明は何を述べているものでしょうか.

通常の位相T_{E^n}というのは開集合全体O_{E^n}に等しいという事を示しとうございました。

> 位相空間としての C^n と R^{2n} とが homeomorphic である,
> という言い方をするのであって,
> C^n の topology と R^{2n} の topology とが homeomorphic である,
> とは言いません.

これはそうでした。これは失礼いたしました。

> C^n から R^{2n} への全単射 f が存在して,
> f により惹起される C^n の部分集合の全体から R^{2n} の部分集合全体への
> 写像に於いて, C^n の topology の元が R^{2n} の topology の元に
> 対応することを示すのです.
> f を C^n の topology から R^{2n} の topology への写像とするのでは
> 駄目です.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
ではfをC^nからR^{2n}への全単射とは断ってませんでした。

>> 上記の具合ででもいいのですよね。
> 駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006238__01.jpg
と訂正致しました。これで大丈夫でしょうか?

>> ちなみに, C^n と (R^n)^2 とが位相同型なので
>> A⊂C^nはLebesgue可測⇔{(Re(z),Im(z));z∈A}はLebesgue可測
>> というのが成立つのかと推測しますが,そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?
> topology から導かれるすべてのこと.

逆にtopologyから導かれない事の例としてはどのようなものがありますでしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
同相写像の欄に位相的性質についての説明は
「…同相な二つの位相空間に常に共有される性質を位相的性質という。」
となってます。従って
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006238__01.jpg
を経て,O_{C^n}とO_{R^{2n}}とが同相であることが分かりました。

> 例えば topology から生成される \sigma-集合体が対応する
> とかといったことです.

よって, I∈Lbg(C^n) ⇔ {(Re(z),Im(z))∈R^{2n};z∈I}∈Lbg(R^{2n})
を示すには後はLbg(C^n)がtopologyから導き出された(topologyの定義のみから作られた概念(?))である事を言えばいいのですね。
つまり,topology T_{C^n}はLbg(C^n)(:=span(T_{C^n})∪{Z;C^n⊃ZはLebesgue零集合})になっている事を言えばいいのですね。
然し, T_{C^n}から生成されるσ集合体span(T_{C^n})や{Z;C^n⊃ZはLebesgue零集合}という集合は位相の定義
(i) φ∈T,X∈T,
(ii) G_k∈T⇒∩_{k=1..n}G_k∈T,
(iii) G_λ∈T⇒∪_{λ∈Λ}G_λ∈T
という3条件だけからでは到底導け出されないと思うのですがいかがでしょうか?

span(T_{C^n})は"topology" T_{C^n}から生成されるσ集合体と, "topology"という単語は出て来はすれど
位相という概念とσ集合体という概念は互いに全く異質な概念だと思うのですが。。

>>> ところで, 区間の積から生成される σ-代数と,
>>> Borel 集合族, 即ち, 開集合から生成される σ-代数とが
>>> 一致することは御存じでしょうね.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
>> での[Prop192.10006236]から直ちに言えますね。
> この言明から [Prop192.10006236] で言いたかったことは想像が付きますが,
> ちょっと違います. もっとも, 証明に一つもまともな部分がないから,
> 単に駄目ですね.

え!? 一体何処がまずいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006267__00.pdf
>> と証明できました。これでいかがでしょうか?
> Lebesgue 可測集合の特徴付けとして,
> どんな正数 \epsilon にたいしても, その集合を含む開集合で
> 差集合の Lebesgue 外測度が \epsilon 未満のものが存在する,
> というのは正しいですが, この場合は使い難いだけでしょう.

えっ? ではどうすれば。。

> その (proof) は G' を a_\lambda, b_\lambda, c_\lambda, d_\lambda
> を用いて表そうとしている時点で破綻しています.

[Prop192.10006236]より, G'=∪_{λ∈Λ}(a_λ,b_λ)×(c_λ,d_λ)と表せれるではありませんか。

>> そうでしたか。そうしますと
>> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
>> 『複素数列 {ｚn} のつくる点列はｎを無限大としたとき，
>> 次の４つに分かれることが知られています．
>> 1. １点に収束する　　　　 　　　　　　
>> 2. 有限個の点の間を周期的に振動する　　
>> 3. ある領域を不規則に動き回る
>> 4. 発散する　　　　　　　　　　　　　　
>> 　このうち３番目の状態を“カオス”といいます．』
> これは駄目です. z_n = \cos n + i \sin n のような点列は
> 3. に入れるしかありませんが,
> これを「カオス」とは普通呼びません.

このサイトでのカオスという言葉の使い方は間違ってるのですかね。
そうしますと,どういったものをカオスと呼ぶのでしょうか?

ここでは3についての特別な用語は無いのですね。

実数列においても
lim_{n→∞}sin(n)は区間[-1,1]内で無限通りの値をとる"振動"なのですね。
今まで振動とは有限個の値を繰り返しとるような数列(例えばsin(nπ/6)など)の発散の振る舞いの事だとばかり思い込んでおりました。
無限個の値を取り+∞や-∞へへも行かず彷徨ってる状態も"振動"と呼ぶのですね。勉強になりました。

>> と4つに分類可能だが,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
>> という具合に収束でも振動でもない発散をカオスと定義しましたが
>> これでもまだ不厳密なのですね。
> それをカオスと呼んでは混乱するだけです.

"混乱"とはカオスという言葉は他で使われてるからなのですね。

>> そうですか。カオスの正しい定義はどのようなものなのでしょうか?
> ありません.

そうですか。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
では公の専門用語としてカオスという言葉を用いたのではなくて個人的に筆者は用いたのでしょうね。

>> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
>> から
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
>> という定義も無根拠でしょうか?
> はい.

とほほ。そうでしたか。了解です。
3番目のケースは単に"収束でも振動でも発散でもない状態"と呼ぶしかないのですね。 

強いて言えば,"無限個の値を取る振動"とでもいいましょうか?

>> [Prop192.10007](iii)については
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
>> という風にして示せました。これで大丈夫でしょうか?
> [Prop192.100069] の証明に於いて,
> 極限と積分の順序交換を正当化するために,
> Lebesgue の定理が援用されていますが,
> g(x) が [a, b] 上で有界であることの証明が欠けています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__07.jpg
で一応はその理由を述べてはいるのですがこれでは不味かったでしょうか?

>> lim_{H∋h→0}(φ(s+h)-φ(s))/h (但し,H:={h∈C;s+h∈A∋s})
>> という定義にしてるのですがこれでは不味いでしょうか?
> A は a と b とを結ぶ「線分」ですから,
> s も s + h も A に入っているなら,
> s = a + t_0 (b - a), s + h = a + t (b - a) とするとき
> \lim_{t \to t_0} (\phi(a+t(b-a)) - \phi(a+t_0(b-a)))/((t-t_0)(b-a))
> = (1/(b-a)) (d/dt)(\phi(a+t(b-a)))|_{t=t_0}
> のことを (d \phi/dt)(t_0) とする, ということなら,
> そう言わなければなりません.

なるほどです。
s = a + t_0 (b - a), s + h = a + t (b - a)
と置かなくても根本的には同じ意味だと思いましたが,
sとs+hの意味を明確にされたのですね。

もし
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__03.jpg
とだけ書いたのからどのような誤解が生じてしまうのでしょうか?

通常,複素関数fがz=aにての微分可能というと,aは内点(つまり,aは或る近傍内の点)になってなければならないのですね。
今回のように線分上での
lim_{H∋h→0}(φ(s+h)-φ(s))/h (但し,H:={h∈C;s+h∈A∋s})
という微分(?)は何か特別な呼び名があるのでしょうか?
線微分とか...?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__02.jpg
>> と訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?
> [Prop192.100067] には証明が欠けています.

失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__04.pdf
と訂正致しました。これならいかがでしょうか?
因みに仮定をC^1級から微分可能に変更しました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
>> でBを複素数の部分集合に訂正致しました。
> それよりも大きな問題が残っています.

すっすいません。それは何なのでしょうか?


>>> 何を仮定して考えているのでしょうか.
>> A:=[a,b]は有界,
>> φ≠B⊂CでBは開領域か閉領域,
>> Map(A×B,C)∋φはA×Bで連続で∀x∈Aに対して,B上でC^1級,
>> (a_n)は(a_n)∈[-ε,ε]^ωでlim_{n→∞}a_n=0 (つまり, 
>> a_1,a_2,…∈[-ε,ε]),
>> Lbg(R)はLebesgueσ集合体.
>> を仮定していて,この時,
>> ∂/∂s φ(x,s)はf_n(x)の(殆ど至る所)極限関数となっていて,
>> 優関数g(x)の存在をいいたく,
>> [3.7]で具体的に作って見せて,
>> g(x)が[a,b]上可積となる理由を[3.9]の行から述べているのですが、、
> その方針が良いかどうかはともかく,

えっ何か不味いでしょうか?

> (\partial \phi/\partial s)(x, s) の連続性は始めから仮定している
> のではないのですか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__08.jpg
の題意に"∂φ(x,s)/∂sがA上で連続"と仮定を付け加えねばならないということでしょうか?

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__08.jpg
の[0.5]や[0.6]だからといって[0.7]の式がA上で連続とは一般には言えませんよね?


>> これは,つまり,サイトではμ:Σ→Cで,そして(A_n)_nは素集合の列としてあるので,
>> X⊃∪_{n=1}^∞A_n∈Σ…(*).
>> この時,μ(∪_{n=1}^∞A_n)=Σ_{n=1}^∞μ(A_n)が絶対収束しない(発散する)なら,
>> +∞=Σ_{n=1}^∞|μ(A_n)|<|μ(X)|(∵(*)) ∈R (∵μの値域はC)となり,
>> 矛盾するからなのでしょうか?
> 絶対収束しないということと発散するということとは違います.

そうでしたね。
"Σ_{n=1}^∞|μ(A_n)|が発散する"なら正しい文章ですね。
"Σ_{n=1}^∞μ(A_n)が発散する"とは(複素数列の収束発散の定義から)振動することですからね。
Σ_{n=1}^∞|μ(A_n)|=+∞ででもΣ_{n=1}^∞μ(A_n)=∞やΣ_{n=1}^∞μ(A_n)∈Cなら複素数の世界では収束するというのでした。
Σ_{n=1}^∞μ(A_n)が振動する場合のみ,Σ_{n=1}^∞μ(A_n)絶対収束しない(発散する)という表現が許されるのですね。
失礼致しました。


> 収束するが絶対収束しない場合に,
> \sum_{n=1}^\infty |\mu(A_n)| と |\mu(X)| とが
> その大小関係を持つことは直ぐには出ないでしょう.
> もう少し丁寧な議論が必要です.

あっと,
|μ(X)|=|μ(∪_{n=1..∞}A_n)|
=|Σ_{n=1..∞}μ(A_n)|≦Σ_{n=1..∞}|μ(A_n)|(∵三角不等式)
ですから,絶対収束しない場合,つまり
Σ_{n=1..∞}|μ(A_n)|=+∞でも矛盾には結び付けませんね。。。

そうしますと,どうして 複素測度では絶対収束性が不可欠なのでしょうか?

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_measure__02.jpg
>> が複素測度の定義で正しいのですね。
> はい.

どうも有難うございます。