工繊大の塚本です.

In article <kda66u$rbo$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> R^nはn次元実数空間とか言ったりしないのですかっ?

「実数体 R 上の n 次元数ベクトル空間 R^n」ですね.

> 集合・位相空間要論(青木利夫著)のp42の載っておりますが。

こういうところで省略するのは良い習慣ではありません.
まねをしてはいけません.

 Re I だとか Im I だとかには意味がないと分かった上で,

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__01.jpg
> からだとどうしても
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
> が導けなかったので,
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__00.jpg
> は　
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
> に何とか繋げる為に苦し紛れに自作した命題だったのです。
> 
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
> を導くにはどうすればいいのでしょうか?

そういう命題を考えようとするのはどうしてですか.

> s=1,0,-1,-3,…に近づくに連れて,
> ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))は無限大に飛ぶので
> どうみてもs=1,0,-1,-3,…は極にしか見えないのですが。

無限大には「飛び」ませんよ. どうして「無限大に飛ぶ」と
思うのですか.
 
> In article <130104200750.M0111342@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 有理形関数の高々極である点での Laurent 級数展開は
> > その点の近傍からその点を除いたところでの関数の積分から定まります.
> 
> 積分で決まるとは
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__00.pdf
> という事ですよね。

 a を中心とした円板 D から a を除いた領域で正則な関数 f(z) は
 f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - a)^n
という Laurent 級数展開を持ち, その係数 a_n は
円板 D 内の a を一周する閉曲線を C とするとき,
 a_n = (1/(2 \pi i)) \int_C f(z)/(z - a)^{n+1} dz
で与えられます.

 f(z) が z = a でも正則であれば,
負の整数 n について a_n = 0 ですから,
 Laurent 級数展開は Taylor 級数展開になります.

> > 一方がその点で正則で, Laurent 級数展開の負ベキの部分を持たないなら,
> > もう一方の Laurent 級数展開も負ベキの部分を持たず,
> > 従って, その点は除去可能な特異点です.
> 
> えっ,つまり,C⊃Dが開領域とし,
> f,g∈Map(D,C∪{∞})で∀z∈D\setminusf^-1(∞)∪g^-1(∞)に対して,f(z)=g(z)とする
> (即ち,D上で有理形的に等しい)。

その仮定の仕方がおかしい.
 f, g が領域 D 上の有理形関数として一致するというのは,
 f も g も領域 D から孤立点からなる集合 S を除いた領域 D' 上で
正則であり, 一致している, S の点は f, g の「高々」極である,
とのみ仮定しているのであって,
 S の点 a が f や g の本当に極であるか, それとも正則点であるか
が予め定まっているわけではありません.

> この時,もし∃α∈D;α∈f^-1(∞)且つgはαで正則
> ならば f(α):=g(α)と妥協させる。
> 
> つまり,或る点はfの特異点でありgの正則点であるなら
> その点はfの"除去可能な"特異点にさせられる(fはgに服従する)。
> 
> という妥協(?)の定義というものがあるのでしょうか?

 a が g の正則点であったなら,
 a は f にとっても正則点であることが判明する,
というだけの話です.

> 各左辺は無限大で

無限大ではありませんよ.

> 各右辺は複素数値ですが妥協の定義から

「妥協の定義」などはありませんよ.

> ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))はs=1,0,-1,-3,…で
> ∫_1^∞exp(-u)u^{1-1}/(1-exp(-u))du,
> ∫_1^∞exp(-u)u^{0-1}/(1-exp(-u))du,
> ∫_1^∞exp(-u)u^{-1-1}/(1-exp(-u))du,
> 鐚^Z
> という複素数値を採る(事を妥協させられる)のですね。

単に, そういう値を取る, というだけです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__10.pdf
> とお陰様で漸く解決できました。

良いでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
> と改訂致しました。相変わらずでしょうか?

相変わらずですね.

> Prop192.100064とProp192.100065とは同じでしょうか?

 [Prop192.100065] は駄目ですが,
 [Prop192.100064] では実数直線の領域である B について
 Re B とか Im B とか訳のわからないものが出て来ますから,
より酷いという評価はできるかも知れません.

> 結論での関数fの第一変数が数列a_n(つまり離散)と
> 複素数s(つまり,連続)という違いになっているのですが。

前者についての Lebesgue の定理から後者についての Lebesgue の定理を
導けていない, ということで, 評価できません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
> でいいのでしょうか?

良くはありません.
どうして \lim_{n \to \infty} a_n = s_0 である数列の全体とすべきところを
 S などという s_0 を集積点として持つ数列の全体を持ち出すのか,
理解に苦しみます. それはただの勘違いであるとしても,
 \lim_{s \to s_0} f(s) = \ell が成立する \ell の全体 L_1 も
 \lim_{n \to a_n} = s_0 であるとき常に \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \ell が
成立する \ell の全体 L_2 も, 空集合であるか, 1 点からなる集合であるか,
のいずれかであり, L_1 が空集合でなければ, L_1 = L_2 は明らかなので,
 L_1 が L_2 を含まないのは L_2 が空集合でなく, L_1 が空集合の時
だけですから, そう仮定して矛盾を導くという方針になりますが,
貴方は L_1 も L_2 も空集合でなく異なるという, 有り得ない場合だけを
考えているので, 証明になっていません.

もう一度言います. \ell' の存在を仮定するのは良いが,
 \ell が存在しない場合に矛盾を導かないといけない.
 \ell が存在する場合のことを述べても意味がありません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__04.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__05.jpg
> とlを取っ払いました。これなら特に問題ないと思うのですが、、如何でしょうか?

取っ払ったところで, "\lim_{s \to s_0} f(s)" が存在しない場合を
扱うときに, "\lim_{s \to s_0} f(s)" を中心とする半径 \epsilon の
 Ball なんぞに意味がある筈がないではないですか.
全く無意味です.

> それと
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__03.jpg
> と発散のケースについても証明しているのですが

これも証明になっていない.

> 十分性の反例について
> f(s,x):=exp(s), s_0:=0
> が挙げられるそうなので,

それは間違い. x は関係ないので, f(s) についての話として,
 f(s) = \exp(1/s) であれば, s = 0 が essential singularity
にはなりますが, 数列の極限と関数の極限の話についていえば,
それは無関係な事柄です.

無関係であるというのは, f(1/n) = \exp(n) ですから,
 \lim_{n \to \infty} f(1/n) = \infty ですが,
それは a_n = 1/n という特別な数列についてだけであるので,
 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 となる任意の数列 a_n について
 \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \infty とはなっていないのです.

> Picardの定理
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
> を使うそうなのですが

 Picard の定理を使うと, \lim_{n \to \infty} a_n = 0 であるが,
 \lim_{n \to \infty} f(a_n) が \infty にならないような
複素数列 { a_n }_{n=1}^\infty の存在が分かります.
この場合は具体的に構成出来てしまいますが.

> どうしてf(s,x):=exp(s)と採った場合,

 f(s) = \exp(1/s) でしょう.

> lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞なる任意の(a_n)∈Sに対して,
> lim_{s→s_0}f(x,s)≠∞となる事はどうすれば言えるのでしょうか?

証明すべきことを見失っているようですね.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__00.pdf
> これなら如何でしょうか?

駄目である理由は既に述べました.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
> でも駄目でしょうか?

はい, 駄目です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__02.pdf
> と訂正致しましたがこれでは如何でしょうか?

間違っていない所を見つける方が難しい.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__03.pdf
> でのProp192.100067が有限増分不等式になるのですね。

 (d/dt) の意味が分かっていますか.

> 早速利用してみましたが,

有限増分不等式では s と s + h を結ぶ線分を考えるのです.

> 4ページ目の3行目でBが閉区間になる事と

上の線分を考えれば良い.

> 4行目で優級数関数|h|sup{|∂/∂t f(x,t)/h|∈R;t∈B}が

「優級数関数」とは何でしょう.

> L^1(A,Brl(A),dx)の元になる事はどうすれば言えるのでしょうか?

それは無条件でそうなるわけではないので,
 f それぞれの場合に考えることになります.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp