ご回答誠に有難うございます。

>> 兎に角,Lebesgue測度は実数空間でしか定義されないのですね。
> 「実数空間」などという用語はありません.

R^nはn次元実数空間とか言ったりしないのですかっ?
集合・位相空間要論(青木利夫著)のp42の載っておりますが。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__00.jpg
>> と訂正致しましたがこれなら全てのケースで適用可能かと思いますが如何でしょうか?
> C^n の部分集合 I の Real part とか Imagenary part とかが何で,
> それが R^n の Borel 集合であることが何を導くのか,

そうでした。
集合に対するReとImの定義がありませんでした。

> I 上の複素数値関数による I の像の Real part とか Imagenary part とかが
> R の Borel 集合であることだけで何が言えるのか,
> その像という R の Borel 集合が L^1 であるとは一体何か,
> 本当に何を主張しようとしているのか, 分かっているのですか.

すいません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__01.jpg
からだとどうしても
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
が導けなかったので,

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__00.jpg
は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
に何とか繋げる為に苦し紛れに自作した命題だったのです。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
を導くにはどうすればいいのでしょうか?

>>> 従って, 複素数平面上の有理形関数として
>>> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))
>>> と　
>>> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
>>> とは一致します.
>> 有理形関数としてなら確かに一致しますね(∵一致の定理)。
> これが分かっていて,
>>> このとき
>>> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
>>> は s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則ですから,
>>> 有理形関数
>>> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))
>>> について, s = 1, 0, -1, -3, \dots は除去可能な特異点であり,
>>> s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則であると考えて良いことになります.
>> これは分かりましたが,
> これが分かって,
>>  s = 1, 0, -1, -3,…が除去可能な特異点である事は
>> どうすれば確かめられるのでしょうか?
> これを質問しますか.

s=1,0,-1,-3,…に近づくに連れて,ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))は無限大に飛ぶのでどうみてもs=1,0,-1,-3,…は極にしか見えないのですが。

> 有理形関数の高々極である点での Laurent 級数展開は
> その点の近傍からその点を除いたところでの関数の積分から定まります.

積分で決まるとは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__00.pdf
という事ですよね。

> 従って, 両者がその点の近傍からその点を
> 除いたところで一致しているなら,
> Laurent 級数展開も一致します.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Laurent_expansion__02.jpg
というLaurent級数展開の定義(但し,IsdC_1はC_1の内部,Corr(A,C)はAからCへの対応の集合を意味します)にて,r_2:=0,a:=1,0,-1,-3,…と置けば,
∫_1^∞u^{s-1}exp(-u)/(1-exp(-u))du
とζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))とはLaurent展開が一致しますね(∵Laurent展開の一意性)。確かに。

> 一方がその点で正則で, Laurent 級数展開の負ベキの部分を持たないなら,
> もう一方の Laurent 級数展開も負ベキの部分を持たず,
> 従って, その点は除去可能な特異点です.

えっ,つまり,C⊃Dが開領域とし,f,g∈Map(D,C∪{∞})で∀z∈D\setminusf^-1(∞)∪g^-1(∞)に対して,f(z)=g(z)とする(即ち,D上で有理形的に等しい)。
この時,もし∃α∈D;α∈f^-1(∞)且つgはαで正則
ならば f(α):=g(α)と妥協させる。

つまり,或る点はfの特異点でありgの正則点であるならその点はfの"除去可能な"特異点にさせられる(fはgに服従する)。

という妥協(?)の定義というものがあるのでしょうか?

>> lim_{s→1}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
>> =∫_1^∞exp(-u)u^{1-1}/(1-exp(-u))du　
>> lim_{s→0}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
>> =∫_1^∞exp(-u)u^{0-1}/(1-exp(-u))du　
>> lim_{s→-1}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
>> =∫_1^∞exp(-u)u^{-1-1}/(1-exp(-u))du　
>> ：　
>> となる事はどうすれば示せるのでしょうか?
> 正則な点では連続ですから当たり前です.
> 計算して示すことではない.

各左辺は無限大で各右辺は複素数値ですが妥協の定義から
ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))はs=1,0,-1,-3,…で
∫_1^∞exp(-u)u^{1-1}/(1-exp(-u))du,
∫_1^∞exp(-u)u^{0-1}/(1-exp(-u))du,
∫_1^∞exp(-u)u^{-1-1}/(1-exp(-u))du,
：
という複素数値を採る(事を妥協させられる)のですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__09.pdf
>> と晴れて解決できました!
> [Prop211.45] の (i) の証明の最初の所から間違っています.
> \sum_{n=1}^\infty と \int_1^\infty の順序については
> あれほど何度も注意した筈であるのに, 結局直りませんね.

これは失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__05.jpg
と訂正致しました。

> (ii) の証明も途中までは注意した通りになりましたが,
> \exp(- \pi x ) を < 1 として消したのでは,
> 積分の収束が出て来ません.
> \int_1^\infty x^a \exp(\pi x) dx は任意の a について
> 正の無限大に発散しますよ.

∫_1^∞x^{2+|1/2|+Re(s/2)-1}exp(πx)dxは
∫_1^∞x^{2+|1/2|+Re(s/2)-1}exp(-(-π)x)dxで
-π>0ではないのでProp192.10003(ii)は使えませんでした。

> \int_1^\infty x^a \exp(- \pi x) dx が任意の a について
> 収束することを使うのです.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__10.pdf
とお陰様で漸く解決できました。

> <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__00.pdf>
> について,
>>> 証明は出鱈目ですね.
> と述べたわけで,

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
と改訂致しました。相変わらずでしょうか?

>> これは失礼致しました。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__00.jpg
>> と訂正致しました。
> と同じものを示されても困ります.

Prop192.100064とProp192.100065とは同じでしょうか?
結論での関数fの第一変数が数列a_n(つまり離散)と複素数s(つまり,連続)という違いになっているのですが。

>> これなら如何でしょうか?
> 今, 示したいのは, Lebesgue の定理の離散極限版から
> 連続極限版が導かれること, ではなかったのですか.

左様でございます。

> 連続極限が存在するとき, 離散極限も存在することは
> # 貴方の証明はどうも的外れであるにせよ,
> 簡単なこととして認めても良いですが,
> ここで問われているのは, 任意の離散列についての
> 極限が存在するのであれば, 連続極限も存在する,

これは仰る通りでございます。

> ということの「論理」が分かっているのか, ということです.
> そのことは, 既に

はい。

>>> そこに書かれている [Prop192.1000645] は
>>> \lim_{s \to s_0} f(s) が存在するなら,
>>> 任意の数列 a_n で \lim_{n \to \infty } a_n = s_0 となるものについて
>>> \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \lim_{s \to s_0} f(s)
>>> が成立するという, 自明のことだけです.
>>> 上に私が書いたものの「逆に」以下の部分が大事なのです.

『逆に,
任意の \lim_{n \to \infty} a_n = 0 となる数列 { a_n }_{n=1}^\infty
について, \lim_{n \to \infty} G(a_n) が存在して, その値が
 { a_n }_{n=1}^\infty の取り方に依らないのであれば,
 \lim_{h \to 0} G(h) が存在する,.』
の事ですね。

>>> 「逆に」以下の部分の証明を先ず調べた上で,
>>> Lebesgue の定理の連続極限版の成立を示しなさい.
> と注意をしておきました.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
でいいのでしょうか?

>> つまり,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__00.jpg
> S を分かり難いものにしたせいで,
> 勝手に転んでいるように見えます.
> \lim_{s \to s_0} f(s, x) = \ell であることの否定が何か,
> ということの「理解」にも問題があるようです.
> この中では好意的に解釈すれば間違いはありませんが,

えっと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__04.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__05.jpg
とlを取っ払いました。これなら特に問題ないと思うのですが、、如何でしょうか?

それと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__03.jpg
と発散のケースについても証明しているのですが十分性の反例について
f(s,x):=exp(s), s_0:=0
が挙げられるそうなので,Picardの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
を使うそうなのですがどうしてf(s,x):=exp(s)と採った場合,lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞なる任意の(a_n)∈Sに対して,lim_{s→s_0}f(x,s)≠∞となる事はどうすれば言えるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__01.jpg
> で「 \delta に対してある n をとれば \delta > 1/n となる」
> という論理を使うのでは, 分かっていない, と判断せざるを得ません.
> 「 1/n を \delta とするとき」という議論になる筈です.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__00.pdf
これなら如何でしょうか?

>> のように同値が言える事を示さねば,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__02.jpg
>> から
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__01.jpg
>> が言えないのですね。
> そういうことです. だから, ちゃんと証明して下さい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
でも駄目でしょうか?

>> ちょっとLebesgueの定理について相当混乱しております。
>> 以前に
>> 「>> えっ!? 複素数上のLebesgue測度というのも存在するのでしょうか?
>> > 複素数平面 C を R^2 と同一視するだけの話です.」
>> と仰った事を考え直して
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__02.pdf
>> と猛訂正したのですが如何でしょうか?
> 複素数平面の Borel 集合 I は
> 実数直線の Borel 集合 Re I, Im I の直積になる
> わけではありませんよ.

そうでした。Re(I)とIm(I)との直積は矩形になるだけでした。

> 有界閉集合上での一様収束極限に関する定理は
> Lebesgue の定理を使わない場合の話です.
> Lebesgue の定理を使うのであれば, 優関数を使えば宜しい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__02.pdf
と訂正致しましたがこれでは如何でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__06.jpg
>> という風に勝手にg(x)の存在を仮定してしまっておりましたが
> Lebesgue の定理は, そのような g(x) が存在すれば,
> 積分と極限の順序交換が可能であることを保証するものです.

そうでしたか。納得です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__09.jpg
>> という風にφ(x,h)の優関数を探さねば成らないのでしたね。
>> うーん,結局,φ(x,h)が一様収束になる事はどうすればわかるのでしょうか?
>> そしてそれからどうやって優級数を見つけるのでしょうか?
> \phi(x, h) が一様収束することは示す必要ありません.
> |\phi(x, h)| < g(x) となる g(x) は, 場合に応じて,
> 探すことになります. 有限増分不等式が役に立つこともあります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__03.pdf
でのProp192.100067が有限増分不等式になるのですね。
早速利用してみましたが,4ページ目の3行目でBが閉区間になる事と
4行目で優級数関数|h|sup{|∂/∂t f(x,t)/h|∈R;t∈B}がL^1(A,Brl(A),dx)の元になる事はどうすれば言えるのでしょうか?

> で, counter example のグラフは書けましたか.

今暫くお時間をいただけますでしょうか?