ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9524__02.jpg
>> という具合にふたバージョンのLebesgueの定理が有ったのですね。
> 未だ定義域の話と値域の話が混同されているような気がします.
> Lebesgue の定理は
> 実数直線上の Lebesgue 測度についての実数値関数の積分についても
> 実数直線上の Lebesgue 測度についての複素数値関数の積分についても
> 平面上の Lebesgue 測度についての実数値関数の積分についても
> 平面上の Lebesgue 測度についての複素数値関数の積分についても
> 成立します.
> 特に, 複素数平面を Lebesgue 測度を備えた平面と同一視すれば,
> 複素数平面上の実数値関数の積分についても
> 複素数平面上の複素数値関数の積分についても
> 成立します.

大変有難うございます。
兎に角,Lebesgue測度は実数空間でしか定義されないのですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__00.jpg
と訂正致しましたがこれなら全てのケースで適用可能かと思いますが如何でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__03.pdf
>> とお陰様で漸く解決できました。
> はい.

どうも有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__05.jpg
>> の(i)が真と成る訳ですね。
> (i) は良い. (iii) は駄目であると繰り返しておきましょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__08.jpg
でいいのですね。

>> 今,ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(1)/(n!(s+n-1))が
>> ∫_1^∞exp(-u)/(1-exp(-u)) u^{s-1}duに等しくなる事を
>> 一致の定理を用いて示してる最中で
：
>従って, 複素数平面上の有理形関数として
> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))
> と　
> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
> とは一致します.

有理形関数としてなら確かに一致しますね(∵一致の定理)。

> 気になるなら, 両者は
> 複素数平面から s = 1, 0, -1, -3, \dots を除いた領域で正則で
> 一致している, ということが分かれば十分です.
> このとき
> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
> は s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則ですから,
> 有理形関数
> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))
> について, s = 1, 0, -1, -3, \dots は除去可能な特異点であり,
> s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則であると考えて良いことになります.

これは分かりましたが, s = 1, 0, -1, -3,…が除去可能な特異点である事はどうすれば確かめられるのでしょうか?

lim_{s→1}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
=∫_1^∞exp(-u)u^{1-1}/(1-exp(-u))du

lim_{s→0}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
=∫_1^∞exp(-u)u^{0-1}/(1-exp(-u))du

lim_{s→-1}[ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))]
=∫_1^∞exp(-u)u^{-1-1}/(1-exp(-u))du

：

となる事はどうすれば示せるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop_211_45__07.pdf
>> と訂正致しましたが如何でしょうか?
> 駄目です.
> \sum_{n=1}^\infty (\exp(- \pi x))^n
> は 1/(1 - \exp(- \pi x)) ではありませんし,
> それでは積分の収束は導かれません.
> \sum_{n=1}^\infty (\exp(- \pi x))^n
>  = \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
> です.

そうでした。

>> あと,3ページ目の上から7行目にてlim_{h→0}をlim_{n→∞}に書き換えねば,
>> Prop192.100064が使えないのですが
>> ∫を飛び越えてhの箇所を軽率にa_nに書き換えてもいいものか困惑しております。 
>> 
>>
>> ここはどのようにして突破できますでしょうか?
> だから, 予め Lebesgue の定理の連続極限版を用意しておきなさい
> と既に忠告しています.
>> 一応
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop_211_45__07.pdf
>> の4ページ目の上から3行目と6行目でそれについては言及しております。
> \sum_{n=1}^\infty (\exp(- \pi x))^n
>  = \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
> を用いなければ, |f(s, u)| \leq g(u) となる g(u) は見つからないでしょう.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__09.pdf
と晴れて解決できました!

>>> 普通に, \lim_{s \to s_0} f(s, x) = h(x)  (a.e.) であり,
>>> |f(s, x)| \leq g(x) であり, \int_B g(x) dx が可積分であれば,
>>> \lim_{s \to s_0} \int_B f(s, x) dx = \int_B h(x) dx
>>> が成立する, と言えば良いのです.
>> 有難うございます。お陰様で
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__00.pdf
>> という具合に解決できました(尚,Acc(A)はAの集積点の集合の意味です)。
> 証明は出鱈目ですね.

これは失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__00.jpg
と訂正致しました。これなら如何でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__06.jpg
>> でなら(i)は正しいのですね。
> (i) は良い. (iii) は駄目であることを繰り返しておきましょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__08.jpg
とすればいいのですね。

>>> 初等的な解析学の範囲で議論するなら, A は有界な閉区間である,
>>> という条件が必要ですし,
>>> Lebesgue の定理を使うなら,
>>> |{ \partial f \over \partail s }(x, s)| \leq g(x)
>>> を満たし, \int_A g(x) dx が可積分である, g(x) の存在を
>>> 仮定しなければなりません.
>> 了解です。
> ちゃんと了解していれば, 上のような話は出て来ない筈です.

これは失礼致しました。とにかく
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__08.jpg
でいいのですね。

>>> 議論の仕方が分かっていないのですか.
>>> \lim_{h \to 0} G(h) が存在すれば,
>>> 任意の \lim_{n \to \infty} a_n = 0 となる数列 { a_n }_{n=1}^\infty
>>> について, \lim_{n \to \infty} G(a_n) が存在して, その値は
>>> { a_n }_{n=1}^\infty の取り方に依りませんし,
>>> 逆に, 任意の \lim_{n \to \infty} a_n = 0 となる数列 {
>>> a_n }_{n=1}^\infty
>>> について, \lim_{n \to \infty} G(a_n) が存在して, その値が
>>> { a_n }_{n=1}^\infty の取り方に依らないのであれば,
>>> \lim_{h \to 0} G(h) が存在する,
>>> ということを使いましょう, とは言いました.
>> そっそうでした。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__01.pdf
>> でいいのですよね。
> そこに書かれている [Prop192.1000645] は
> \lim_{s \to s_0} f(s) が存在するなら,
> 任意の数列 a_n で \lim_{n \to \infty } a_n = s_0 となるものについて
> \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \lim_{s \to s_0} f(s)
> が成立するという, 自明のことだけです.
> 上に私が書いたものの「逆に」以下の部分が大事なのです.
> 「逆に」以下の部分の証明を先ず調べた上で,
> Lebesgue の定理の連続極限版の成立を示しなさい.

つまり,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__01.jpg
のように同値が言える事を示さねば,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__02.jpg
から
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__01.jpg
が言えないのですね。

ちょっとLebesgueの定理について相当混乱しております。
以前に
「>> えっ!? 複素数上のLebesgue測度というのも存在するのでしょうか?
> 複素数平面 C を R^2 と同一視するだけの話です.」
と仰った事を考え直して
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__02.pdf
と猛訂正したのですが如何でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__00.pdf
>> と仮定を変更してみたのですがやはりφ(x,h)の優関数が見つかりませんね。
> 一様収束をどう使うのか分かっていないわけですね.

はい。すみません。ここもちょっと混乱中です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__06.jpg
という風に勝手にg(x)の存在を仮定してしまっておりましたが

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__09.jpg
という風にφ(x,h)の優関数を探さねば成らないのでしたね。
うーん,結局,φ(x,h)が一様収束になる事はどうすればわかるのでしょうか?
そしてそれからどうやって優級数を見つけるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__01.pdf
>> とお蔭様で漸く上手くいきました。有難うございます。
> いや, 積分の外の \lim_{h \to 0} を積分の中に入れて良いことの
> 理由付けがありませんよ. 証明とは言えません.

失礼致しました。これも勝手にg(x)の存在を仮定してしまっておりましたね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__08.pdf
>> となったのですが3ページ目の冒頭ではどうして不等号が成り立つのでしょうか?
> その一行前, 前のページの最後で
> ((\sum_{n=0}^\infty ((h/2) \log x)^n/n!) - 1)/h - (\log x)/2
>  = ((1 + (h/2) \log x + \sum_{n=2}^\infty ((h/2) \log x)^n/n! -1)/h
>    - (\log x)/2
>  = \sum_{n=2}^\infty (h/2)^{n-1} (\log x)^n/n!
>  = (h/2)(\log x)^2 \sum_{n=2}^\infty ((h/2) \log x)^{n-2}/n!
> という計算を間違っているからそうなるのです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__09.pdf
どうも有難うございます。

>>> 示せていませんね. 一番罪が重いのは
>>> \sum_{n=1}^\infty (\exp(- \pi x))
>>>  = \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
>>> の分子の \exp(- \pi x) を忘れていることです.
>> そうでした。これは大変失礼いたしました。
> 分かったら前に戻って記事を書き直すものです.

これも失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__09.pdf
としておくべきでした。