Re: ζ関数に関する命題,解析接続,Γ関数など
工繊大の塚本です.
In article <k1rdcc$f86$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__00.jpg
> となったのですが
> exp(Re(-s/2)lnπ)(cosIm(-s/2)lnπ+isinIm(-s/2)lnπ)が
> s=-1,-2,-3,…で一位の零点を持つ事はどうすれば示せますでしょうか?
だから, \pi^{-s/2} は絶対に 0 にはなりませんよ.
# ところで, involution という言葉の意味は御存じですか.
更に, \Gamma(s/2) は s = 0, -2, -4, -6, \dots で
一位の極を持つのであって, s = -1, -3, -5, \dots では正則です.
\zeta(0) = - 1/2 ですが, s = -2, -4, -6, \dots で \zeta(s) が
一位の零点を持つことは既に知っている筈ですね.
> えっ?
何か分からないことがありますか.
> In article <120827005433.M0610466@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx
> > = int_1^\infty (x^{-s/2-1/2} - x^{-s/2-1}) dx
> > は容易に計算できるでしょう.
>
> はい,出来ますが、、
しかし, 計算していない.
> 結局
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__04.jpg
> の4箇所が
そもそも,
\hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
= (\int_0^\infty x^{s/2-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty (\pi n^2)^{-s/2})
= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (x/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-x) dx/x
= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
= \int_0^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
= \int_0^1 x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
+ \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
= \int_1^\infty x^{-1-s/2} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2/x)) dx
+ \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
に Poisson summation formula からの式
1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi x n^2)
= (1/x)^{1/2}(1 + 2 \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x))
# 右辺の \sum の前の 2 が抜けていました.
即ち,
\sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x))
= (1/2) x^{1/2}(1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) - (1/2)
= x^{1/2} \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) + (1/2) x^{1/2} - (1/2)
を代入すれば,
= \int_1^\infty x^{(1-s)/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
+ (1/2) \int_1^\infty x^{-(s+1)/2} dx
- (1/2) \int_1^\infty x^{-1-s/2} dx
+ \int_1^\infty x^{s/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
となるわけです.
> (Re(s)>1とかの制限もあってのせいか)分からずじまい
> なのですがどのように変形してけばいいのでしょうか?
> 誠に申し訳ありません。
関数の和の積分は積分の和, というだけです.
> > 解析接続は具体的な表示式で考えなくても
> > 存在することさえ分かっていれば,
> > \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s)
> > が任意の複素数 s で成立することが分かったりします.
これは失礼. 今の話とは無関係でした.
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.jpg
> という具合に一致の定理を使えばそのように言えますね
> (でもζ^(s)=ζ^(1-s)がRe(s)>1ですらも言えねば何にもならんのですが)。
Re(s) > 1 のとき,
\hat{\zeta}(s)
= \int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
(\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x
+ 1/(s(s-1))
が成立することが示されたわけですが,
\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)
\leq \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n x)
= \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
\leq (1/(1 - e^{-\pi})) \exp(- \pi x) (x \geq 1)
であり,
\int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
(\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x
は複素数平面全体上で s について正則な関数を表しています.
つまり, 上の式は \hat{\zeta}(s) の全複素数平面上への解析
接続の表示式になっているわけです.
--
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
GnuPG Key ID = ECC8A735
GnuPG Key fingerprint = 9BE6 B9E9 55A5 A499 CD51 946E 9BDC 7870 ECC8 A735