工繊大の塚本です.

In article <k1rdcc$f86$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__00.jpg
> となったのですが
> exp(Re(-s/2)lnπ)(cosIm(-s/2)lnπ+isinIm(-s/2)lnπ)が
> s=-1,-2,-3,…で一位の零点を持つ事はどうすれば示せますでしょうか?

だから, \pi^{-s/2} は絶対に 0 にはなりませんよ.
# ところで, involution という言葉の意味は御存じですか.
更に, \Gamma(s/2) は s = 0, -2, -4, -6, \dots で
一位の極を持つのであって, s = -1, -3, -5, \dots では正則です.
 \zeta(0) = - 1/2 ですが, s = -2, -4, -6, \dots で \zeta(s) が
一位の零点を持つことは既に知っている筈ですね.

> えっ?

何か分からないことがありますか.

> In article <120827005433.M0610466@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx
> >   = int_1^\infty (x^{-s/2-1/2} - x^{-s/2-1}) dx
> > は容易に計算できるでしょう.
> 
> はい,出来ますが、、

しかし, 計算していない.

> 結局
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__04.jpg
> の4箇所が

そもそも,

 \hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
 = (\int_0^\infty x^{s/2-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty (\pi n^2)^{-s/2})
 = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (x/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-x) dx/x
 = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
 = \int_0^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
 = \int_0^1 x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
   + \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
 = \int_1^\infty x^{-1-s/2} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2/x)) dx 
   + \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx

に Poisson summation formula からの式

  1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi x n^2) 
    = (1/x)^{1/2}(1 + 2 \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x)) 

# 右辺の \sum の前の 2 が抜けていました.
即ち,

  \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x)) 
    = (1/2) x^{1/2}(1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) - (1/2)
    = x^{1/2} \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) + (1/2) x^{1/2} - (1/2)

を代入すれば,

 = \int_1^\infty x^{(1-s)/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
   + (1/2) \int_1^\infty x^{-(s+1)/2} dx
   - (1/2) \int_1^\infty x^{-1-s/2} dx
   + \int_1^\infty x^{s/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx

となるわけです.

> (Re(s)>1とかの制限もあってのせいか)分からずじまい
> なのですがどのように変形してけばいいのでしょうか?
> 誠に申し訳ありません。

関数の和の積分は積分の和, というだけです.

> > 解析接続は具体的な表示式で考えなくても
> > 存在することさえ分かっていれば,
> >  \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s)
> > が任意の複素数 s で成立することが分かったりします.

これは失礼. 今の話とは無関係でした.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.jpg
> という具合に一致の定理を使えばそのように言えますね
> (でもζ^(s)=ζ^(1-s)がRe(s)>1ですらも言えねば何にもならんのですが)。 

 Re(s) > 1 のとき,

  \hat{\zeta}(s)
  = \int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
                  (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x
    + 1/(s(s-1))

が成立することが示されたわけですが,

  \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)
   \leq \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n x)
      = \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
      \leq (1/(1 - e^{-\pi})) \exp(- \pi x)  (x \geq 1)

であり,

  \int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
                (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x

は複素数平面全体上で s について正則な関数を表しています.
つまり, 上の式は \hat{\zeta}(s) の全複素数平面上への解析
接続の表示式になっているわけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp