ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__00.jpg
>> となったのですが
>> exp(Re(-s/2)lnπ)(cosIm(-s/2)lnπ+isinIm(-s/2)lnπ)が
>> s=-1,-2,-3,…で一位の零点を持つ事はどうすれば示せますでしょうか?
> だから, \pi^{-s/2} は絶対に 0 にはなりませんよ.
> # ところで, involution という言葉の意味は御存じですか.

はい、"累乗"という意味ですよね。

> 更に, \Gamma(s/2) は s = 0, -2, -4, -6, \dots で
> 一位の極を持つのであって, s = -1, -3, -5, \dots では正則です.
> \zeta(0) = - 1/2 ですが, s = -2, -4, -6, \dots で \zeta(s) が
> 一位の零点を持つことは既に知っている筈ですね.

すっすみません。早速,ζ(s)が一位零点を持つ事を
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_102285__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2999__00.pdf
として確かめようと試みたのですが[2]の因子がs=0,-1,-2,…で一位の零点を持ち,[6]の因子ではs=1,0,-1,-2が一位の極となる事までは分かったのですがここからどうすれば
1/Γ(s)
(Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
がs=-2,-4,-6,…で一位の零点を持つ事が分かるのでしょうか?

これが分かったら
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__01.jpg
と上手くいきました。

>> えっ?
> 何か分からないことがありますか.
>>>  int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx
>>>   = int_1^\infty (x^{-s/2-1/2} - x^{-s/2-1}) dx
>>> は容易に計算できるでしょう.
>> はい,出来ますが、、
> しかし, 計算していない.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__00.jpg
となり,等式が成立しないのですが、、また
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__01.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__02.jpg
と両辺とも開いてみたのですが一致しません。何処で勘違いしておりますでしょうか?

>> 結局
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__04.jpg
>> の4箇所が
> そもそも,
> \hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
> = (\int_0^\infty x^{s/2-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty (\pi
> n^2)^{-s/2})
> = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (x/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-x) dx/x
> = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
> = \int_0^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
> = \int_0^1 x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
>   + \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
> = \int_1^\infty x^{-1-s/2} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2/x)) dx
>   + \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
> に Poisson summation formula からの式
>  1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi x n^2)
>    = (1/x)^{1/2}(1 + 2 \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x))
> # 右辺の \sum の前の 2 が抜けていました.

有難うございます。

> 即ち,
>  \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x))
>    = (1/2) x^{1/2}(1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) - (1/2)
>    = x^{1/2} \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) + (1/2) x^{1/2} - (1/2)
> を代入すれば,
> = \int_1^\infty x^{(1-s)/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
>   + (1/2) \int_1^\infty x^{-(s+1)/2} dx
>   - (1/2) \int_1^\infty x^{-1-s/2} dx
>   + \int_1^\infty x^{s/2 - 1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
> となるわけです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__01.pdf
と一応なりましたが(このような方針でいいのですよね?),
4ページの上から9行目の
∫_0^∞Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)x^{s/2-1}=∫_0^∞Σ_{n=1}^∞x^{s/2-1}exp(-x)(πn^2)^{-s/2}
の変形と4ページの下から4行目の
Σ_{n=1}∫_0^∞x^{s/2}exp((s/2)ln(1/(πn^2))-x)dx/x=Σ_{n=1}^∞∫_0^∞x^{s/2}exp(-πn^2x)dx/x
と下から3行目の広義積分でも項別積分が成立つ事はどうすればいえるのでしょうか?

>> (Re(s)>1とかの制限もあってのせいか)分からずじまい
>> なのですがどのように変形してけばいいのでしょうか?
>> 誠に申し訳ありません。
> 関数の和の積分は積分の和, というだけです.

了解です。

>>> 解析接続は具体的な表示式で考えなくても
>>> 存在することさえ分かっていれば,
>>>  \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s)
>>> が任意の複素数 s で成立することが分かったりします.
> これは失礼. 今の話とは無関係でした.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.jpg
>> という具合に一致の定理を使えばそのように言えますね
>> (でもζ^(s)=ζ^(1-s)がRe(s)>1ですらも言えねば何にもならんのですが)。
> Re(s) > 1 のとき,
>  \hat{\zeta}(s)
>  = \int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
>                  (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x
>    + 1/(s(s-1))
> が成立することが示されたわけですが,
>  \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)
>   \leq \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n x)
>      = \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
>      \leq (1/(1 - e^{-\pi})) \exp(- \pi x)  (x \geq 1)
> であり,
>  \int_1^\infty (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) \times
>                (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx/x
> は複素数平面全体上で s について正則な関数を表しています.
> つまり, 上の式は \hat{\zeta}(s) の全複素数平面上への解析
> 接続の表示式になっているわけです.

なるほどです。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__01.jpg
にても解析接続できる事は分かりましたが,これからどうやって
ζ^(s)=ζ^(1-s)が成立つ事に結び付けれるのでしょうか?
少なくともRe(s)>1にてζ^(s)=ζ^(1-s)が成立つ事を言わねばなりませんよね。でも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__01.pdf
のように頓挫しております。