ご回答大変ありがとうございます。

>> 上記の私の定義「∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=s」からだけでは
>> どうしても<Ev,(id-E)v>=0が導けないのですね。納得です。
> どうも通じませんね. その定義と「同値な」定義を
> *線形変換 E の満たすべき性質だけで* 与えるのが,
> E^* = E, E^2 = E だと言っているのです.

すいません。「E^* = E, E^2 = E」がorthogonal projectionの定義と同値という訳ですね。

>> でもやはり,V＼S∪{0}が線形部分空間にならない場合があるのですね。
> なりませんよ.

そうですか。

> xy 平面で, x 軸を取り除いて(お好みなら原点を付け加えて)
> 出来るのはどんな図形ですか.

x軸のみ取り去った平面ですね。
目からうころです。V=S∪T∪{αs+βt;α,β∈F,α≠0,β≠0}となるのですね。

V=S+Tの時,T=V＼S∪{0}ではなくて,T=V＼S＼{αs+βt;α,β∈F,α≠0,β≠0}∪{0}となるのですね。