ご回答大変ありがとうございます。

>> つまり,Eが線形写像かどうかは直ぐには分からないという事でしょうか?
> 違います. E が orthogonal projectionであるとは,
>  E^* = E, E^2 = E となることである, という特徴付けが
> 後で必要となります.

E^*=Eはorthogonalityを言うために必要ですね。
でも∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=sと定義しただけではEはむprojectionかどうかは分からないのでしょう
か?  E^2=Eという条件がどうしても必要になるのでしょうか?

>> 無限次元の線形空間の場合ですかね。
>> 有限次元線形空間では直交補空間は常に存在しますよね。
> いいえ. 例えば, R^2 の不定値内積 ((a, b), (c, d)) = ad + bc
> については,

((a,b),(c,d)):=ad+bcの時, ((a,b),(a,b))=ab+ba=2abは正になるとは限りませんね。
また,((a,b),(c,d))=0ならばad+bc=0で(a,b)=(c,d)になるとは限りませんね。
更に,(a,b)=(c,d)の時,((a,b),(c,d))=ac+bd=0になるとも限りませんね。
つまり,正定値という条件を満たさない。
でも((a,b)+(c,d),(e.f))=((a+c,b+d),(e.f))=af+cf+be+de
((a,b),(e,f))+((c,d),(e,f))=af+be+cf+deだから((a,b)+(c,d),(e,f))=((a,b),
(e,f))+((c,d),(e,f))が成り立ち,
(r(a,b),(c,d))=((ra,rb),(c,d))=rad+rbc
r((a,b),(c,d))=r(ad+bd)=rad+rbcだから(r(a,b),(c,d))=r((a,b),(c,d))も成り立つ。
よって双線形性のみ満たされるのでscalar積にはなりますが内積にはなり得なく,不定値内積と呼ばれるのですね。

> S = { (a, 0) } とすると S = S^⊥ であり,
> 直交「補」空間にはなりません.

確かに補空間「VをF線形空間とし,SをVの線形部分空間とすると,S':=(V＼S)∪{0}もVの線形部分空間となる。このS'をSの補空間と呼
ぶ」
にはなってませんね。

S = { (a, 0) }はSの直交空間と一致し,S^⊥はSの補空間と一致しないのですね。

>> normal operatorとは可換なadjoint operatorの事ですね。
>  adjoint operator と可換になる operator のことです.

Aをadjoint operator,f:V→Vを線形写像とするとAf=fAとなる時,fをnomal operatorと呼ぶのですね。

>> つまり,ψがfgのadjoint<fg(v),w>=<v,ψ(w)> (for∀v,w∈V)なる
>> 線形写像ψ:V→Vならψ=gfの時,
>> このψをnormal operatorというのですね。
> 違います.

これは可換になるoperatorをadjoint operatorに限定してしまってますね。

>> でもどうして正定値の条件が必要なのでしょうか?
> 正定値でないと, 上の例のように, 直交空間が補空間に
> なるとは限りません.

なるほど。納得です。

>> As_j = (Σ_{k=1}^r α_k E_k )s_j
>> = α_1E_1s_j+α_2E_2s_j+…+α_{j-1}E_{j-1}s_j+α_jE_js_j+α_{j+1}E_{j+1}s_j+…
>> +α_rE_rs_j
>> = 0+0+…+0+α_jE_js_j+0+…+0(∵s_j∈ImE_jとE_jは互いに直交)
>> =α_jE_js_j=α_js_j …①(∵E_jとs_jの定義)
>  E_j^2 = E_j より s_j ∈ Im E_j なら s_j = E_j s_j ですから,
>  i≠j のとき E_i s_j = E_i E_j s_j = 0 s_j = 0 です.
> その意味で, ここで, E_j^2 = E_j と E_i E_j = 0  (i≠j) を
> 使っています.

ありがとうございます。ここで∀i≠jならE_iE_j=0を使うのですね。

>> α_1,α_2,…,α_rは全て,固有値になっている事が分かりますね。
>  α_1, α_2, ... , α_r が固有値の全てになっていることが
> 分かるのです.

一番肝心な所ですね。Av=αvなる0≠v∈Vとα∈Rが存在したならα∈{α_1,α_2,…,α_r}になる事は分かりましたが,
逆にα∈{α_1,α_2,…,α_r}ならAv=αvなる0≠v∈V画存在する事はどうすれば言えますでしょうか?

>> すいません。E_iE_j=0はどこで使えばいいのでしょうか?
> 上で述べた通り.

納得です。

>> 後,I=Σ_{j=1}^r E_jもどこで使えばいいのでしょうか?
>  E_j v = s_j と置くと, v = s_1 + s_2 + … + s_r となる,
> というところで使っています.

ありがとうございます。納得です。

> なお, Σ_{j=1}^r (α - α_j) s_j = 0 から,
> 各 i について (α - α_i) s_i = 0 である,

これはなぜ言えるのでしょうか?
s_1,s_2,…,s_rは一次独立とは限りませんよね。
Σ_{j=1}^r s_j=v≠0より,少なくとも0でないs_jがあるからs_1,s_2,…,s_rは一次従属ですよね。