ご回答大変ありがとうございます。

>> E^*=Eはorthogonalityを言うために必要ですね。
>> でも∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=sと定義した
>> だけでは Eはむprojectionかどうかは分からないのでしょうか?
> V の直和分解 V = S + S^⊥ を前提とするのでは,
> 線形変換 E だけでの orthogonal projection の
> 特徴付けになりません.

projectionのorthogonalと言うと,∀v∈Vに対して,<Ev,(id-E)v>=0なるprojectionの事ですよね。
この場合,(id-E)Vは(EV)^⊥になっていますよね、、、
<Ev,(id-E)v>=<v,E^*(id-E)v>=<v,E(id-E)v>=<v,Ev-E^2v>=<v,Ev-Ev> (∵Eは
projectionなので)
=<v,0>=0 (∵今,非退化な内積空間Vを仮定しているので)
よってE^*=Eならprojection Eはorthogonalと分かりました。

ええと, 特徴づけにならないとは
∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=sと定義しただけでは
<Ev,(id-E)v>=<Ev,idv-Ev>=<Ev,v-Ev>=<Ev,v>-<Ev,Ev> (∵内積の定義)
=<s,v>-<s,s>から =0が導けないからなのですね。
よってやはり,E^*=Eが必要になるのですね。

>> E^2=Eという条件がどうしても必要になるのでしょうか?
> E^* = E, E^2 = E であることから, Im E = S とするとき,
> Im (I - E) = S^⊥, V = S + S^⊥ となり,
> E が orthogonal projection となることが導かれます.

上記の私の定義「∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=s」からだけでは
どうしても<Ev,(id-E)v>=0が導けないのですね。納得です。

>> ((a,b),(c,d)):=ad+bcの時, ((a,b),(a,b))=
>> ab+ba=2abは正になるとは限りませんね。
> これは正定値でないという話で良いですが,

はい。

>> また,((a,b),(c,d))=0ならばad+bc=0で(a,b)=(c,d)になるとは限りませんね。
>> 更に,(a,b)=(c,d)の時,((a,b),(c,d))=ac+bd=0になるとも限りませんね。
> この二つは意味のない話です.

そうでしたか。ただ正定値でない事を確認しただけだったのですが。

>> 確かに補空間「VをF線形空間とし,SをVの線形部分空間
>> とすると, S':=(V＼S)∪{0}もVの線形部分空間となる。
> そんなものは線形部分空間にはなりません.

x,y∈S'を採ると,もしx+y∈S'となるとは限りませんね。失礼いたしました。
えっでもV=S(+)S'の時,S'をSの補空間と呼ぶのですよね。
直和の性質からS∩S'={0}ですからS'=V＼S∪{0}になると思うのですが。。
補空間の定義はV=S(+)S'と直和分解できる時にS'をSの補空間と呼ぶのであって,任意のVは常に直和分解できるとは限らないのですね。
直和分解できないような例ってあるのでしょうか?

>> このS'をSの補空間と呼ぶ」 にはなってませんね。
> 補空間の定義が間違っています.
> V の線形部分空間 S に対し, V の線形部分空間 T が
> S の補空間であるとは, V = S + T, S ∩ T = {0} と
> なることです.

つまり,直和分解されるという事ですね。
ん? この時,T=V＼Sになっていますよね。
T:=V＼S∪{0}なら∀t∈T,∀s∈Sに対して,s+t∈Vとなりますよね(∵線形空間の定義)でT∩S={0}となってますよね。
でもやはり,V＼S∪{0}が線形部分空間にならない場合があるのですね。
V=S+Tと書いたらVは2つの線形部分空間S,Tの和空間を意味しますからね。

>>>  adjoint operator と可換になる operator のことです.
>> Aをadjoint operator,f:V→Vを線形写像とすると
>> Af=fAとなる時, fをnomal operatorと呼ぶのですね。
> A は「何の」adjoint operator なのですか.

Aはfと合成されねばならず,しかも線形変換でなければなりませんので(∵self-adjointの定義)
AはV→Vのadjoint operatorでなければなりません。

> 線形変換 A: V → V が normal であるとは.
> A の adjoint operator A^*: V → V について,
> A A^* = A^* A となることです.

ありがとうございます。大変参考になります。Aはfのadjoint operatorでなければならなかったのですね。

>> これは可換になるoperatorを
>> adjoint operatorに限定してしまってますね。
> 無意味な言明ですね.

すいません。失礼いたしました。

>> 一番肝心な所ですね。Av=αvなる0≠v∈Vとα∈Rが存在したなら
：
> それを実行されたのではなかったですか.
> なお, E_j ≠ 0 は仮定されています.

ありがとうございます。納得です。

>> Σ_{j=1}^r s_j=v≠0より,少なくとも0でないs_jがあるから s_1,s_2,…,s_rは一次従属ですよね。
> だから, そういう疑問が出ないように,
：
> より明らかです.

どうもありがとうございます。