ご回答大変ありがとうございます。


> 最初は直交化の必要がありません. 元から <v, u_i> = 0
> ですから. 又, <u_i, u_i> = 0 ですから, 上の式は意味を
> 持ちません.

そうでした。u_iはV_0の元でV_0の元は∀w∈V,<w,u_i>=0を満たすものでしたね。だから当然,<v,u_i>=0ですね。


> そう考えても良いですが, w が u_k, v_i, w_j, v らの張る
> 部分空間に入らないことは, 後で見たように, 簡単に分かり
> ますから, v は V_0 に入らないので何か <v, w''> ≠ 0 と
> なる w'' ∈ V がある, ということより w の存在を導けば
> 十分です.

あっ。ここで疑問なのですが  もし,本当に<v,w>=1なる元wが無い。
つまり,<v,v>=0でしかもV＼span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}＼{v}=φ
だった場合,このvはV_pとV_nの元から生成されるほかは考えられないですよね。
その時,どうやってこのvをV_pとV_nとの元にばらせますでしょうか?


あとは納得できました。m(_ _)m