工繊大の塚本です.

In article <9a9880b4-df85-46f3-815c-320faf81b092@u27g2000pro.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> In article <081017174347.M0120777@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > そう考えても良いですが, w が u_k, v_i, w_j, v らの張る
> > 部分空間に入らないことは, 後で見たように, 簡単に分かり
> > ますから, v は V_0 に入らないので何か <v, w''> ≠ 0 と
> > なる w'' ∈ V がある, ということより w の存在を導けば
> > 十分です.
> 
> あっ。ここで疑問なのですが  もし,本当に<v,w>=1なる元wが無い。
> つまり,<v,v>=0でしかもV＼span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}＼{v}=φ
> だった場合,

そういう場合は有り得ません. v がもしどんな w'' についても
 <v, w''> = 0 であるなら, v は V_0 の元となり, v が
 u_k, v_i, w_j らの張る部分ベクトル空間に入らない元として
選ばれたことに矛盾します. <v, w''> ≠ 0 なら w = (1/<v, w''>) w''
とすれば, <v, w> = 1 となりますね. この w は, <v, v_i> = 0,
 <v, w_j> = 0, <v, v> = 0 と <v, w> = 1 を照らし合わせれば,
 u_k, v_i, w_j, v の一次結合では表せない元であることが
分かるのですから, 必ず v, w で2次元分増えることになるわけです.

> このvはV_pとV_nの元から生成されるほかは考えられないですよね。
> その時,どうやってこのvをV_pとV_nとの元にばらせますでしょうか?

因みに, V = V_0 (+) V_p (+) V_n の直交直和分解が得られた
なら, V の元 v は v = v_0 + v_p + v_n と一意に書けます.
 <v, v> = 0 ならば, <v_p, v_p> + <v_n, v_n> = 0 です.
従って, v_p ≠ 0 なら v_n ≠ 0 です.

そういう意味では, <v, v> = 0 となる元 v には
 V_p と V_n の元 v_p, v_n が必ず関与している
ことになります.

状況を御理解いただけましたでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp