大変ありがとうございます。とても参考になっています。



> V_0 の基底 u_1, u_2, ... , u_t から出発して,
> V の一次独立なベクトルの列
>  u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s
> で, 互いに直交し, <v_i, v_i> > 0, <w_j, w_j> < 0 となるもの
> が構成できたとします. (最初は v_i, w_j が存在しない場合です.)

"最初は v_i, w_j が存在しない場合です."の意味がよく分かりません。
V_pとV_nの元はu_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s
の中には無い場合という意味でしょうか?
そうしますとv_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_sらは<v_1,v_1>=0となるような元らになりま
すよね。
だからといってu_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s∈V_0と簡単にもいえませんよね。
(V=V_p+V_n+V_0が保障されているわけでもないので)
V_0の元は任意元に対して常に,直交してる元なので<v_1,v_1>=0だがv_1≠wに対しては<v_1,w>≠0となっているかもしれませんよ
ね。


> これらで生成される空間が V に一致していればお仕舞いです.

u_1, u_2, ... , u_t∈V_0, v_1, v_2, ... , v_r∈V_p, w_1, w_2, ... ,
w_s∈V_n
でV=span{u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s}
となっている場合ですね。これならめでたしです。


> V に一致しない場合, これらで生成されないベクトル v を
> 取りましょう. Gram-Schmidt の直交化で,

V≠span{u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s}で
V_0=spanV=span{u_1, u_2, ... , u_t}
となっている場合ですね。
このvはV_0には入る余地は無いので


>  v' = v - Σ_{i=1}^r (<v, v_i>/<v_i, v_i>) v_i
>         - Σ_{j=1}^s (<v, w_j>/<w_j, w_j>) w_j

v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_sらだけで直交化してやるのですね。


> を作れば, v' は u_k, v_i, w_j の全てと直交し, それらでは
> 生成されないベクトルですから, 初めから v がそうなっている
> としましょう.

了解いたしました。


> Case 1: <v, v> > 0 のとき.
> このときは v_{r+1} = v とします.

このvはV_pの元として追加してやるのですね。

> Case 2: <v, v> < 0 のとき.
> このときは w_{s+1} = v とします.

このvはV_nの元として追加してやるのですね。


> Case 3: <v, v> = 0 のとき.
> v は V_0 の元ではありませんから,

この場合のv(≠0)はV_pの元でもV_nの元でも,勿論V_0の元でもないVの元という状態になるので
V⊃V_p(+)V_n(+)V_0(+)V'というV'が存在し,v∈V'になっているかもしれないという訳ですね。


> <v, w> = 1 となる
> V の元 w が存在します.

そうですね。V_0の元ではないのでそのようなwがある筈ですよね。


> w は u_k, v_i, w_j, v では
> 生成されない元です.

これはどうして分かるのでしょうか?
取り合えず,v,w∈V＼span{u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1,
w_2, ... , w_s}なのですね。


> やはり Gram-Schmidt の直交化で
>  w' = w - Σ_{i=1}^r (<w, v_i>/<v_i, v_i>) v_i
>         - Σ_{j=1}^s (<w, w_j>/<w_j, w_j>) w_j

v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_sらで直交化すると言う事は
v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_sらとはw'は直交し,
u_1, u_2, ... , u_tらとはw'とも直交しているのでしょうか?


> を作ると, <v, w'> = 1 のままで, w' は u_k, v_i, w_j
> の全てと直交します. w が初めからそうなっていると
> しましょう.

やはりu_1, u_2, ... , u_tらとはw'とも直交するようですね。
どうしてでしょうか?


> Case 3-1: <w, w> > 0 のとき.
> このときは v_{r+1} = w とします.
> Case 3-2: <w, w> < 0 のとき.
> このときは w_{s+1} = w とします.

これはわかります。


> Case 3-3: <w, w> = 0 のとき.

ここでもwはV_p,V_n,V_0いずれの元でもなくw∈V'となりますね。


> <v, v> = 0, <w, w> = 0, <v, w> = 1 ですから,
> <v + w, v + w> = 2 > 0, <v - w, v - w> = - 2 < 0
> となっています. v_{r+1} = v + w, w_{s+1} = v - w
> とします.

ここでさっきのvを利用するのですね。
今v,w∈V'となっていてそれらの一次結合v+wやv-wはV_pやV_nの元になる。
と言う事はV_p∪V_n⊃spanV'と言う関係ですか?
でも相変わらずv,wはV_p,V_n,V_0の元ではないんですよね。
うーん,どのように解釈したらいいのでしょうか?


> こうしていずれの場合も性質を満たす一次独立な V の
> ベクトルの列で, 個数が増えたものが構成できます.
> V が有限次元であれば, この構成を続けることにより
> V の直交基底で求める性質を満たすものが得られる
> ことになります.

これはわかります。

改めて考えてみるとどうして直交化が必要なんでしょうか?
Sylvesterの定理は今回の問題では役立たずなんですよね。
Case3のような元を処理するために直交化されたのでしょうか?
V'の正体は何なのでしょうか?


すいません。お手数おかけしてます。
Chikako