ご回答大変ありがとうございます。
μ積分の定義がはっきりしました。
ルベーグ積分∫fdλをlim[n→∞]∫f_n(x)dλ ({f_n}はfの定義関数列)で定義し,
特にλが一般の測度μの時のlim[n→∞]∫f_n(x)dμをμ積分というのだそうです。
単にルベーグ積分を一般の測度で定義した積分の事でした。


> いや, 定義の仕方は色々あります. どれが正しいということ
> もありませんが, 解答するにはその定義に沿って議論しなけ
> ればなりません.

了解いたしました。


>> > r < 0 ならば, { x ∈ Ω ; f_+(x) > r } = { x ∈ Ω ; f(x) ≧ 0 } = Ω_+
>> > であるから可測集合.
> これは勘違いでした. f_+(x) ≧ 0 だから,
> { x ∈ Ω ; f_+(x) > r } = Ω ですね.
> だから可測集合.

そうですね。


> {x∈Ω;f(x)1_Ω^+(x)≧0}∪φ = Ω です.

ありがとうございます。


> E ではなく Ω で考える, f_n は f に測度収束するのですね.

μ積分は全体集合で定義されているのですねだからΩで考えないといけないのですね。



>  f_n は単関数, ∫ |f_n| dμ < ∞,
>  ∀ε > 0, ∃ M, M < m, n ⇒ ∫ |f_m(x) - f_n(x)| dμ < ε.
>  lim_{n→∞} μ({ x ∈ Ω ; |f_n(x) - f(x)| ≧ ε }) = 0.

ありがとうございます。Ωで考えたいと思います。


>> 0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒ε>∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ ≧1_Ω^+(x)・∫_E
>> |f_m(x)-f_n(x)|dμ
> これは ≧ ∫_{Ω^+} |f_m(x) - f_n(x)| dμ ですね.

ん? EをΩで読み替えるのだから
≧ ∫_Ω 1_{Ω^+}(x)|f_m(x) - f_n(x)| dμ
ではないのでしょうか?


>> 次に∀n∈Nに対しては
>> μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})≧μ({x∈E;1_Ω^+(x)|f_n(x)-f(x)|})
>> (∵1_Ω^+の定義) =μ({x∈E;|f_n(x)・1_Ω^+(x)-f(x)・1_Ω^+(x)|})
>> =μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)^+|})
>  μ({ x ∈ Ω ; |f_n(x) - f(x)|≧ε})
>  ≧ μ({ x ∈ Ω^+ ; |f_n(x) - f(x)|≧ε})
>     = μ({ x ∈ Ω ; 1_{Ω^+}・|f_n(x) - f(x)|≧ε})
>     = μ({ x ∈ Ω ; |f_n^+(x) - f^+(x)|≧ε})
> が主張したいところだと思います.

そうですね。私のだと{x∈Ω;|f_n(x)-f(x)|≧ε}と{x∈E;1_Ω^+(x)|f_n(x)-f(x)|≧ε}
との包含関係がいまいちはっきりしませんね。



>> {f_n^+}と{f_n^-}とをそれぞれf_+とf_-の定義関数列とし,f_n:=f_n^+-f_n^-と置くと
>> 定義関数列の定義から 0<∀ε∈R,∃M',M''∈N;M'<m,n⇒∫_E
>> |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε ;M''<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε よって
>> M:=max{M',M''}とすると M<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε且つ∫_E
>> |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ<ε…①.
>> lim[n→∞]μ({x∈E;|f_m^+(x)-f_n^+(x)|≧ε)=0
>> lim[n→∞]μ({x∈E;|f_m^-(x)-f_n^-(x)|≧ε)=0 …②.
> ここは
>  lim_{n→∞} μ({ x ∈ Ω ; |f_n^+(x) - f^+(x)|≧ε)=0
>  lim_{n→∞} μ({ x ∈ Ω ; |f_n^-(x) - f^-(x)|≧ε)=0 …②.
> ですね.

そうでした。書きミスでした。失礼いたしました。


>> と書ける。 fの定義関数列としてf_n:=f_n^+-f_n^-と採ると①から
>> 0<∀ε∈R,ε/2に対して,∃M∈N;M<m,n⇒ ε/2>∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ且つ
>> ε/2>∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ よって ε=ε/2+ε/2>∫_E
>> |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ+∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ
>> >∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)+f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ (∵三角不等式(?))
> 実数での三角不等式といっても間違いではありません.
> しかし
>  ≧ ∫ |(f_m^+(x) - f_n^+(x)) - (f_m^- - f_n^-)| dμ
> でないと次に繋がりません.

そうですね。ありがとうございます。

>> ⊂{x∈E;|f_n^+(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n^-(x)-f(x)|≧ε/2} より,
>> 測度の定義(単調性)) =μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)|≧ε/2}+μ({x∈E;|f_n^-(x)-f(x)|≧ε/2})
> ここは
>  ≦ μ({x∈Ω;|f_n^+(x)-f^+(x)|≧ε/2}+μ({x∈Ω;|f_n^-(x)-f^-(x)|≧ε/2})
> ですね. |f_n^+(x) - f^+(x)| < ε/2 かつ |f_n^- - f^-(x)| < ε/2
> であれば, |(f_n^+(x) - f_n^-(x)) - (f^+(x) - f^-(x))|
> = |(f_n^+(x) - f_^+(x)) - (f_^-(x) - f^-(x))|
> ≦ |f_n^+(x) - f^+(x)| + |f_n^- - f^-(x)| < ε/2 + ε/2 = ε
> ですから, 議論はそれでよいと思います.

了解いたしました。どうもありがとうございます。


>> よって,はさみうちの原理と②より lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0.
>> よって{f_n}はfの定義関数列になっているのでfはμ積分可能。
>> で大丈夫でしょうか?
> 大筋では結構だと思います.

どうもありがとうございます。