ご回答ありがとうございます。


> R は実数全体ですね. この定義は実数全体上での話でないと
> 意味がありません.

了解いたしました。


> 「 {f_n} は E上で f に測度収束する」ですね.

さようです。ありがとうございます。


> 「 f がμ積分可能」の定義は何でしょう.

Def
L^1(Ω,Σ,μ):=L^1(μ):=L^1(Ω):={Σ-measurable f;∫|f|dμ<∞}
…the set of μ-integrable function.

となっています。
つまり,Σ可測関数で∫_E |f|dμ<∞ (但し,E∈Σ)という事でしょうか。
つまり, |f|の定義関数列が存在する時,fはμ積分可能と言ったりするのかもしれません


> 普通は, 非負関数のμ積分可能性の定義を置いた上で,
> 非負関数 |f| がμ積分可能であることをその定義とする
> のですが, <fcc1b369-157f-4edf-bd7f-3c9bf9f1e...@1g2000prd.googlegroups.com>
> を見ると, 違う定義になっているようです.

正しい定義をご存知でしたら是非,お教え下さい。


>> そしし fはΣ-可測だから,∀r∈R,{x∈Ω;f(x)>r}∈Σ. が言える。 (i) f_+がΣ可測である事を示す。 ∀r∈R,{x∈Ω;f_+(x)>r}={x∈Ω;f・1_{Ω_+}(x)>r} ={x∈Ω;f(x)・
>> 1_{Ω_+}(x)>r} ここで1_{Ω_+}(x)=0なら {x∈Ω;f(x)・1_{Ω_+}(x)>r}={x∈Ω;0>r}={φ,Ω}∈Σ
>>  1_{Ω_+}(x)=1なら {x∈Ω;f(x)・1_{Ω_+}(x)>r}={x∈Ω;f(x)>r}∈Σ(∵仮定)
> これでは未だ { x ∈ Ω ; f_+(x) > r } が可測集合である
> 所まで到達していません. このように場合分けするのは変ですね.
> r ≧ 0 ならば, { x ∈ Ω ; f_+(x) > r } = { x ∈ Ω ; f(x) > r }
> であるから可測集合, r < 0 ならば, { x ∈ Ω ; f_+(x) > r }
> = { x ∈ Ω ; f(x) ≧ 0 } = Ω_+ であるから可測集合.

そうでしたね。rで場合わけしなければなりませんでした。
r≧0なら{x∈Ω;f_+(x)>r}={x∈Ω;f(x)1_Ω^+(x)>r}={x∈Ω;f(x)>r} (∵1_Ω^+の定義)
∈Σ(∵fはΣ可測)
r<0なら{x∈Ω;f_+(x)>r}={x∈Ω;f(x)・1_Ω^+(x)>r}={x∈Ω;f(x)・1_Ω^+(x)>r}
={x∈Ω;f(x)1_Ω^+(x)≧0}∪{x∈Ω;0>f(x)・1_Ω^+(x)>r}
={x∈Ω;f(x)1_Ω^+(x)≧0}∪φ
(∵もし,0>f(x)なら1_Ω^+(x)=0で{x∈Ω;0>f(x)・1_Ω^+(x)>r}={x∈Ω;0>0>r}=φ)


>> (ii) f_-がΣ可測である事を示す。 ∀r∈R,{x∈Ω;f_-(x)>r}={x∈Ω;f・1_{Ω_-}(x)>r}
>>  ={x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r} ここで1_{Ω_-}(x)=0なら {x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r}={x∈Ω;0>r}={φ,Ω}∈Σ
>>  1_{Ω_-}(x)=1なら {x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r}={x∈Ω;f(x)>r}∈Σ(∵仮定)
> こちらも同じことですね.

さようです。


>> (iii) 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f_+(x)|>ε})=0なる f_+の定義関数列{f_n}が存在する事を示す。
>> (iv) 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f_-(x)|>ε})=0なる f_-の定義関数列{f_n}が存在する事を示す。
>> (iii)と(iv)とは定義関数列をどのように取れますでしょうか?
> f について取ったもの f_n の (f_n)_+, (f_n)_- で
> 良さそうですが, それで良いことはきちんと示さないと
> いけません.

{f_n}をfの定義関数列とすると定義関数列の定義から
0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ<ε…①.
lim[n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε)=0 …②.
と書ける。
f^+の定義関数列としてf_n^+:=f_n・1_Ω^+と採ると①から
0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒ε>∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ
≧1_Ω^+(x)・∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ
=∫_E |f_m(x)・1_Ω^+(x)-f_n(x)・1_Ω^+(x)|dμ
=∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ
即ち,0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε

次に∀n∈Nに対しては
μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})≧μ({x∈E;1_Ω^+(x)|f_n(x)-f(x)|})
(∵1_Ω^+の定義)
=μ({x∈E;|f_n(x)・1_Ω^+(x)-f(x)・1_Ω^+(x)|})
=μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)^+|})
≧0 (∵測度の定義)
よって,はさみうちの原理と②より lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)^+|})=0

よって{f_n^+}はf^+の定義関数列になっているのでf^+はμ積分可能。

f^-の定義関数列としてf_n^-:=-f_n・1_Ω^-と採ると①から
0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒ε>∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ
≧-1_Ω^-(x)・∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ
=∫_E |-f_m(x)・1_Ω^-(x)-(-f_n(x)・1_Ω^-(x))|dμ
=∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ
即ち,0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ<ε

次に∀n∈Nに対しては
μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})≧μ({x∈E;-1_Ω^-(x)|f_n(x)-f(x)|})
(∵-1_Ω^-の定義)
=μ({x∈E;|-f_n(x)・1_Ω^-(x)-(-f(x)・1_Ω^-(x))|})
=μ({x∈E;|f_n^-(x)-f(x)^-|})
≧0 (∵測度の定義)
よって,はさみうちの原理と②より lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n^-(x)-f(x)^-|})=0

よって{f_n^-}はf^-の定義関数列になっているのでf^-はμ積分可能。


>> 十分性については f=f_+-f_-と書け,明らかにこの時fはΣ可測。
>> 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f(x)|>ε})=0なる fの定義関数列{f_n}としてどんな定義関数列が取れますでしょうか?
> こちらも f_+ について (f_+)_n が, f_- について (f_-)_n が
> 取れるのですから, f_n = (f_+)_n - (f_-)_n とすれば
> 良さそうですが, やはりきちんと示さないといけません.

{f_n^+}と{f_n^-}とをそれぞれf_+とf_-の定義関数列とし,f_n:=f_n^+-f_n^-と置くと
定義関数列の定義から
0<∀ε∈R,∃M',M''∈N;M'<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε
;M''<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε
よって M:=max{M',M''}とすると
M<m,n⇒∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ<ε且つ∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ<ε…①.
lim[n→∞]μ({x∈E;|f_m^+(x)-f_n^+(x)|≧ε)=0
lim[n→∞]μ({x∈E;|f_m^-(x)-f_n^-(x)|≧ε)=0 …②.
と書ける。
fの定義関数列としてf_n:=f_n^+-f_n^-と採ると①から
0<∀ε∈R,ε/2に対して,∃M∈N;M<m,n⇒
ε/2>∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ且つ
ε/2>∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ
よって
ε=ε/2+ε/2>∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)|dμ+∫_E |f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ
>∫_E |f_m^+(x)-f_n^+(x)+f_m^-(x)-f_n^-(x)|dμ (∵三角不等式(?))
=∫_E |f_m^+(x)-f_m^-(x)-(f_n^+(x)-f_n^-(x))|dμ
=∫_E |f_m(x)-f_n(x))|dμ
即ち,0<∀ε∈R,∫_E |f_m(x)-f_n(x))|dμ<ε.

次に0<∀ε∈R,ε/2,∀n∈Nに対しては
0≦μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=μ({x∈E;|(f_n^+(x)-f_n^-(x))-f(x)|≧ε}) (∵測度の定
義)
≦μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n^-(x)-f(x)|≧ε/2})
(∵{x∈E;|(f_n^+(x)-f_n^-(x))-f(x)|≧ε}⊂{x∈E;|f_n^+(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|
f_n^-(x)-f(x)|≧ε/2}
より,測度の定義(単調性))
=μ({x∈E;|f_n^+(x)-f(x)|≧ε/2}+μ({x∈E;|f_n^-(x)-f(x)|≧ε/2})
よって,はさみうちの原理と②より
lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0.

よって{f_n}はfの定義関数列になっているのでfはμ積分可能。


で大丈夫でしょうか?