初めまして。
測度論で難儀しています。


因みに,定義関数列{f_n}の定義は
「{f_k}が積分可能なL^1コーシー単関数列,でf_nはfに測度収束)する時,
{f_k}をfの定義関数列という」

L^1コーシー列の定義は
「‖‖を‖f‖:=∫_R|f(x)|dxと定義するとこの‖‖はノルムをなす。
このノルム‖‖をL^1ノルムと言う。
積分可能な単関数列{f_n}が0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒‖f_m-f_n‖<εを満たす時,
{f_n}をL^1コーシー列という」

測度収束の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)において,E∈Σでf_n,fはΣ可測でf_nはa.eで有限値をとる。0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|
f_n(x)-f(x)|≧ε})=0の時,{f_n}はfに測度収束すると言う」

(Ω,Σ,μ)を任意のσ有限測度空間。fがμ積分可能⇔f_+とf_-はμ積分可能

σ有限測度の定義は
「可測空間(Ω,Σ)でΩ=∪[i=1..∞]Ω_iでΩ_i⊂Ω_i+1で
測度μが各iに対してμ(Ω_i)<∞の時,このμをσ有限測度と言う」
です。

[問](Ω,Σ,μ)を任意のσ有限測度空間とし,f:Ω→[-∞,∞]はΣ-可測。
fがμ積分可能⇔f_+とf_-はμ積分可能
(但し,f_+:=f・1_{Ω^+},f_-:=-f・1_{Ω^-}
(1_{Ω^+}と1_{Ω^-}とは特性関数の意味)でΩ^+:={f≧0},Ω^-:={f<0}
注意:必要性の証明は定義関数列(単関数列)に基づいて示せ)

という問題です。

[証]
必要性の証明は仮定から
fがμ積分可能だというだからf:Ω→[-∞,∞]で
0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f(x)|>ε})=0なる
fの定義関数列{f_n}が存在する。
そしし
fはΣ-可測だから,∀r∈R,{x∈Ω;f(x)>r}∈Σ.
が言える。
(i) f_+がΣ可測である事を示す。
∀r∈R,{x∈Ω;f_+(x)>r}={x∈Ω;f・1_{Ω_+}(x)>r}
={x∈Ω;f(x)・1_{Ω_+}(x)>r}
ここで1_{Ω_+}(x)=0なら
{x∈Ω;f(x)・1_{Ω_+}(x)>r}={x∈Ω;0>r}={φ,Ω}∈Σ
1_{Ω_+}(x)=1なら
{x∈Ω;f(x)・1_{Ω_+}(x)>r}={x∈Ω;f(x)>r}∈Σ(∵仮定)

(ii) f_-がΣ可測である事を示す。
∀r∈R,{x∈Ω;f_-(x)>r}={x∈Ω;f・1_{Ω_-}(x)>r}
={x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r}
ここで1_{Ω_-}(x)=0なら
{x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r}={x∈Ω;0>r}={φ,Ω}∈Σ
1_{Ω_-}(x)=1なら
{x∈Ω;f(x)・1_{Ω_-}(x)>r}={x∈Ω;f(x)>r}∈Σ(∵仮定)

(iii) 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f_+(x)|>ε})=0なる
f_+の定義関数列{f_n}が存在する事を示す。

(iv) 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f_-(x)|>ε})=0なる
f_-の定義関数列{f_n}が存在する事を示す。

(iii)と(iv)とは定義関数列をどのように取れますでしょうか?

十分性については
f=f_+-f_-と書け,明らかにこの時fはΣ可測。
0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈Ω;|f_n(x)-f(x)|>ε})=0なる
fの定義関数列{f_n}としてどんな定義関数列が取れますでしょうか?


どうかご教示ください。m(_ _)m


吉田京子