工繊大の塚本です.

In article <k5c7s3$j35$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうでしたか。えーと,1次元複素多様体がRiemann面の事で
> f(z):=z^{1/2}という複素関数では,二葉の複素平面を使っているから
> C^2は　

ここが間違い.

> 「{Map(U_λ,V_λ);λ∈Λ}(但し,U_λ∈T_{C^2},V_λ∈T_C)を{U_λ;λ∈Λ}
> と(f_λ)_{λ∈Λ}に於けるatlas(つまり,各f_λはU_λからV_λへの同相写像)で,
> 任意の(U,V)∈{U_λ∈T_{C^2};λ∈Λ}^2;U∩V≠φ}に対して,
> f,gを夫々,Map(g(U∩V),f(U∩V))∋fg^-1がbiholomophic
> (つまり,fg^-1と(fg^-1)^-1の双方ともholomorphic)を満たす
> U,V上のchart(因みに,U∩V∈T_{C_2}となる(∵位相空間の定義)))
> となっている」
> でいいのですね? 

1次元の複素多様体 X であるなら, 各 chart は
 Hausdorff 位相空間 X の開集合 U から,
 C^1 の開集合 V への
位相同相写像 f: U \to V です.
 C^2 が出てきたところで何も分かっていないことが分かります.
 z^{1/2} のリーマン面とはどんな位相空間か,
それはどのような atlas を持つのか,
きちんとした教科書を開いて,
ちゃんと勉強されることをお勧めします.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp