ご回答誠に有難うございます。

>>> 「組」の使い方を間違えると, どんどん正解から
>>> 遠ざかって行きますよ.
>> え゛。私の組のどこらへんが間違っておりますでしょうか?
> 「組」という言葉の使い方からして, 多分,
> 一致していないのでしょう.

組(a,b)とはA_1,A_2を空でない集合とする時, a_1∈A_1,a_2∈A_2に於いて,
対集合の公理から{{a},{a,b}}は集合となる。
この時,(a,b):={{a},{a,b}}と定義し,組,又は対集合と呼ぶ。そして,
A_1×A_2={{{a1},{a1,a2}};a_1∈A_1,a_2∈A_2}と表記し,A_1とA_2の直積集合と呼ぶ。 

A_1×A_2×A_3は(A_1×A_2)×A_3と考えて、
A_1×A_2×A_3={{{a1},{a1,a2}};a_1∈A_1×A_2,a2∈A_3}
A_1×A_2×A_3×A_4は(A_1×A_2×A_3)×A_4と考えて、、以下同様。
の定義されると思います。
で、結局、n個の場合の定義は
Π_{k=1}^n A_k={{{a_1},{a_1,a_2}};a_1∈Π_{k=1}^{n-1} A_k,a_2∈A_k}
だと思います。そして,
Π_{k=1}^n A_kの元は(n組からなる)組と呼び,(a_1,a_2,a_3,…,a_n)と書く事にする。 

でいいんですよね。

>>> ほら, もう Riemann 面の理解からは遠ざかっている.
>> え゛ー!?  一価にする必要性は無いのでしょうか!?
> 一価にするための「組」の使い方を学びましょう.

一価にする為にせいぜい
f∈Map(((C＼{0})×{0})∪({0}×(C＼{0})),C);
f(x+yi,0):=+(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1
x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
f(0,x+yi):=-(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1
x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
までしか思いつかなかったのですがこれは欠陥だらけなのですよね。

>> 一価化&正則化にして取り扱い性を良くしようというのが
>> Riemann面の意義なのではないのですか?
> その為にどんなものが導入されましたか.

chart,comptible,atlasです。

>>> 直積集合では駄目です.
>> 直積集合の他に何が要りますでしょうか?
> Riemann 面です.

つまり,chart,comptible,atlasですよね。

>>> 先ず s が整数でないときの u^s を理解することです.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__02.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__03.jpg
>> という感じでいいのですよね。
> 何が言いたいのか分かりません. Arg u というものが
> どういうものか, 分かっていますか.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_argument_of_principal_value__00.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_principal_value__00.jpg
がArg(z)とLn(z)の定義です。

>>> 先ず文章で書き下して御覧なさい.
>> 『XをTを位相とする位相空間とし,(λ∈)Λをindex setとし,U_λを開集合とし,
>> Map(U_λ,C^n)をU_λからC_nへの写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその集合からなる族とする時,
>> その族の元(集合)で同相写像から丈からなるものがあったならば
>> その集合の元をU_λのchartと呼ぶ』では如何でしょうか?
> chart というのが,
> 位相空間 X の開集合 U と, C^n の開集合 V と,
> U から V への同相写像 \phi: U \to V との
> 三つ組 (U, V, \phi: U \to V) であることが分かっていない
> のであれば, 零点です.

どうも有難うございます。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_chart__01.jpg
でいいのですね。　
つまり,Home(X,C^n)の元の事をchartと言うのですね。

>> 例えばどのような誤解でしょうか?
> 位相多様体の定義に C^1 級写像の話が出て来るとか.

そうでしたか。

>>> 「 atlas とは chart の集まりである」ことが書かれて
>>> いないようでは駄目です.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_atlas__01.jpg
>> の2行目の「f∈Chart(U,D)」がchartの集まりを表したつもりでしたが
> それでは駄目です.

それなら
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_atlas__02.jpg
ではいかがでしょうか?

>> compatible(両立的)の定義を
>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2
>> からしか発見できませんでしたのでこれを採用させて頂きました。

すいません。かなりの書籍からcompatibleの定義を探そうとしたのですがどうして見つけれません。
compatibleの定義をお教え下さい。