工繊大の塚本です.

In article <902b38e1-c445-4411-8b8e-412481a1d98b@b3g2000vbm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110618232857.M0205445@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  \zeta(s, x)
> >   = 2^s \pi^{s-1} \Gamma(1-s) \times
> >     \sum_{n=1}^\infty n^{s-1} \sin((\pi s)/2 + 2 n \pi a)
> > が 1 以外の全ての複素数 s について成り立つわけではありません.
> 
> あっ。gamma関数が絡んでいるから少なくとも負整数では収束しませんね。

 \Gamma(1-s) が極を持つのは s が正整数の時ですよ.

> > Re(s) > 1 では \lim_{n \to \infty} n^{s-1} は
> > 0 にならないので, 右辺の和に意味がありません.
> 
> そうしますと
> 2^sπ^{s-1}Γ(1-s)Σ_{n=1}^∞n^{s-1}sin(πs/2+2nπa)は
> Hurwitz zeta関数を全複素平面に解析接続したものとは言えないのでしょうか?

言えません. その一部での表示式です.
 
> リーマンゼータ関数と保型波動「本橋洋一」
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def__10.jpg
> に載っていたのですが。

そこにはちゃんと Re(s) < 0 での表示式であることが
断ってあるではないですか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp