ご回答誠に有難うございます。

>>> この L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{a \mod N}(s)
> テキストでは \zeta_{a \mod N}(s) のところは
> \zeta_{\equiv a (N)}(s) という記号が
> 使われていましたね.

はい,そうですね。

>>> であるという話は, 他の thread でしましょう.
>> L(s,χ)=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)Σ_{n=0}^∞ 1/(nN + a)^sが
>> DirichletのL関数の定義域を複素平面全体へ拡張した定義式になるのでしょうか?
> Re(s) > 1 では,
：
> Re(s) > 1 での表示式しか得られませんが,
> \zeta_{\equiv a (N)}(s) を用いれば,
> s \neq 1 では
> L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
> が L function の表示式として使えます.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function.jpg
が一般でのDirichletのL関数の定義式になるのですね。
大変ありがとうございます。