あまりちゃんと読んでいないので既出かも知れませんが、
次のようなのは出ましたか?

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S_n = Σ{k=1 to n}a_k
L_n = Σ{k=1 to n}a_k - Σ{k=n+1 to ∞}|a_k|
U_n = Σ{k=1 to n}a_k + Σ{k=n+1 to ∞}|a_k|

とおくと

L_n ≦ S_n ≦ U_n
L_n ≦ L_{n+1} ≦ U_{n+1} ≦ U_n
U_n - L_n → 0

から区間縮小原理により S_n は収束する。
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区間縮小原理を説明するのには結局コーシー列を使うわけですが、
単に「絶対値の和が収束 ⇒ 元の和も収束」をイメージする目的
ならこのような証明がわかりやすいんではないかと。

# 議論を一般の完備距離空間にも拡張できますし…

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さとたつ