ご回答誠に有難うございます。

>> もう一度考え直してみました。
>> C＼{0}上のzを極座標表示すると(|z|,arg(z)) (但しarg(z)∈(-π,π])で表せますよね。
> 実軸の負の部分で切り開きますか.

はい。(-π,π]で分けてる書籍が多そうなので。

>> p:C＼{0}→(R^+×(-π,π]を直交座標から極座標への変換する全単射写像とし,
>> h:(C＼{0})×{0,1}→R^+×(0,3π]=:M
>> ;(C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,0)→h(z,0):=(√|z|,arg(z)),
>> (C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,1)→h(z,1):=(√|z|,arg(z)+2π)
>> で定義し,更に
>> f:M→C＼{0}
>> ;M∋∀(√|z|,arg(z))→f(√|z|,arg(z)):=(√|z|,arg(z)/2)
>> M∋∀(√|z|,arg(z)+2π)→f(√|z|,(arg(z)+2π)/2).
>> で定義すると√'の定義は
>> √':(C＼{0})×{0,1}→C＼{0};√':=p○f○hで与えられるのですね。
> この定義に M は必要ないでしょう.

あっと,そうでした。失礼致しました。
√':(C＼{0})×{0,1}→C＼{0};√':=p○h;
(C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,0)→h(z,0):=(√|z|,arg(z)/2),
(C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,1)→h(z,1):=(√|z|,(arg(z)+2π)/2)
でいいのですね。

> z \in (C \setmius {0}) の arg(z) を - \pi < arg(z) \leq \pi で与えるとき,
> (z, 0) の行き先は \sqrt{|z|}(cos(arg(z)/2) + i sin(arg(z)/2))
> # - \pi/2 < arg(z)/2 \leq \pi/2 に注意.
> (z, 1) の行き先は \sqrt{|z|}(cos(arg(z)/2 + \pi) + i sin(arg(z)/2 + \pi))
> #   \pi/2 < arg(z)/2 + \pi \leq 3 \pi/2 に注意.
> とする, ということですね.

はい,左様です。

>> これで当初√'z:={√|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)))}∈2^Cは2価関数でしたが,
>> ;√':=p○f○hで与え直すとこれは1価の全単射な関数になるのですね。
>> √'zと書籍等では書かれてますが,本当はキチンと
>> √'(z,0)や√'(z,1)と表記せねばならないのですね。
> 普通, 2価関数として \sqrt{z} と書くだけです.

え? 区別して表記する事ができないのでしょうか?

この表記だと
√'2はarg(2)=0なので,√'2=√|2|(cos0)+isin0)=√|2| or 
=√|2|(cos(0+π)+isin(0+π))=-√|2|
なので√'2={±√|2|}で結局,2価関数になってしまうではありませんか?

>> あと-√'(z,0):=√'(z,1) (原点に関して対称に移す)と定義されてるのですね。
> \sqrt{z} の一方に対し, 他方はその(-1)倍ですから.

了解です。

>>> # (C \setminus {0}) \times {0, 1} は連結になるように繋いでおく
>>> # 必要がありますが.
>> 連結になるように繋いでおくとは具体的にどのような作業を施すのでしょうか?
> (z, 0) の arg(z) = \pi のところは (z, 1) の arg(z) = - \pi となるように,
> (z, 1) の arg(z) = \pi のところは (z, 0) の arg(z) = - \pi となるように,
> 繋ぐのです.

そのように定義するのですね。
そうすると,√'zはz=0以外で常に連続で微分可能になるのですね。 


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