工繊大の塚本です.

2015年11月9日月曜日 11時15分28秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> もう一度考え直してみました。
> 
> C＼{0}上のzを極座標表示すると(|z|,arg(z)) (但しarg(z)∈(-π,π])で表せますよね。 

実軸の負の部分で切り開きますか.

> p:C＼{0}→(R^+×(-π,π]を直交座標から極座標への変換する全単射写像とし,
> h:(C＼{0})×{0,1}→R^+×(0,3π]=:M
> ;(C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,0)→h(z,0):=(√|z|,arg(z)),
> (C＼{0})×{0,1}∋→∀(z,1)→h(z,1):=(√|z|,arg(z)+2π)
> で定義し,更に
> f:M→C＼{0}
> ;M∋∀(√|z|,arg(z))→f(√|z|,arg(z)):=(√|z|,arg(z)/2)
> M∋∀(√|z|,arg(z)+2π)→f(√|z|,(arg(z)+2π)/2).
> で定義すると√'の定義は
> √':(C＼{0})×{0,1}→C＼{0};√':=p○f○hで与えられるのですね。

この定義に M は必要ないでしょう.
 z \in (C \setmius {0}) の arg(z) を - \pi < arg(z) \leq \pi で与えるとき,
 (z, 0) の行き先は \sqrt{|z|}(cos(arg(z)/2) + i sin(arg(z)/2))
# - \pi/2 < arg(z)/2 \leq \pi/2 に注意.
 (z, 1) の行き先は \sqrt{|z|}(cos(arg(z)/2 + \pi) + i sin(arg(z)/2 + \pi))
#   \pi/2 < arg(z)/2 + \pi \leq 3 \pi/2 に注意.
とする, ということですね.

> これで当初√'z:={√|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)))}∈2^Cは2価関数でしたが,
> ;√':=p○f○hで与え直すとこれは1価の全単射な関数になるのですね。
> 
> √'zと書籍等では書かれてますが,本当はキチンと
> √'(z,0)や√'(z,1)と表記せねばならないのですね。

普通, 2価関数として \sqrt{z} と書くだけです.

> あと-√'(z,0):=√'(z,1) (原点に関して対称に移す)と定義されてるのですね。

 \sqrt{z} の一方に対し, 他方はその(-1)倍ですから.

> > # (C \setminus {0}) \times {0, 1} は連結になるように繋いでおく
> > # 必要がありますが.
> 
> 連結になるように繋いでおくとは具体的にどのような作業を施すのでしょうか?

 (z, 0) の arg(z) = \pi のところは (z, 1) の arg(z) = - \pi となるように,
 (z, 1) の arg(z) = \pi のところは (z, 0) の arg(z) = - \pi となるように,
繋ぐのです.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp