ご回答大変有難うございます。

>> γが[a,b]で連続でγ([a,b])がstrict Hausdorff dimensionを持つ。
> strict Hausdorff dimension one を持つ, ですね.

はい,そうです。

> この strict というのは, γ([a, b]) のハウスドルフ次元が
> 「ちょうど」1, という感じでしょう.

なるほど。そういう意味だったのですね

> Γ の α 次元 Hausdorff measure m_α(Γ) が α について
> 単調減少であるのは宜しいでしょうか.

はい,上記のHausdorff次元の定義を見るとβが大きくなるとやがてm_β(Γ)=0となる事から
m_α(Γ)はαについての単調減少関数と言えますね。

> δ = sup { α | m_α(Γ) = ∞ } とすると,

これはHausdorff次元の別の定義ですね。

> δ が Γ の
> Hausdorff dimension であり, α < δ のとき, m_α(Γ) = ∞
> ですから, m_1(Γ) < ∞ より 1 < δ ではありません.

そうですね。1<δならm_1(Γ)=∞とならねばなりませんね。

> 又, δ < α のとき, m_α(Γ) = 0 (であることも御存知ですね)

はい,これもHausdorff次元の定義からですね。

> ですから, 0 < m_1(Γ) より δ < 1 でもありません.
> 従って, δ = 1 です.

やっとわかりました。ありがとうございます。

>> 十分性については
>> dimγ([a,b]))=1と上の議論からγがrectifiableである事が示される
>> とありますがどうしてそんな簡単に言えるのでしょう?
> [a, b] の任意の分点 Δ = { t_0, t_1, ... , t_n },
> a = t_0 < t_1 < … < t_N = b をとるとき,
> Γ_i = { γ(t) | t_{i-1} ≦ t ≦ t_i } とすると,
> m_1(Γ) = Σ_{i=1}^N m_1(Γ_i) ですが,

そうでしたね。

>「上の議論」から,
> d(γ(t_{i-1}), γ(t_i)) ≦ m_1(Γ_i) であることを認めると,

左辺は距離,右辺は曲線の長さですから当然ですね。

> Σ_{i=1}^N d(γ(t_{i-1}), γ(t_i)) ≦ Σ_{i=1}^N m_1(Γ_i) = m_1(Γ)
> となり, L = sup_Δ Σ_{i=1}^N d(γ(t_{i-1}), γ(t_i))

total variationの定義ですね。

> ≦ m_1(Γ) は有限です.

m_1(Γ)が有限であるとどうして分かるのでしょうか?
仮定dimγ([a,b]))=1を使うんだと思いますがdimγ([a,b]))=1からはm_1(Γ)=∞とも=0とも判定できないですよね?