工繊大の塚本と申します.

In article <eddb3ecb-42f6-486f-a0de-7b2f8cdfbbfa@y7g2000yqa.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> プラント配布からの質問です。
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p333_004.jpg
> Hausdorff測度の性質4
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p327_165.jpg
> 
> 正の実数のHausdorff dimensionをstrict Hasudorff dimensionと呼びます。
> 連続で単射な写像をsimpleであると言います。
> 有限個の点以外で単射な写像をquasi-simpleであると言います。
> γ:[a,b]→R^dがrectifiableであるの定義は
> γが[a,b]で連続でγ([a,b])がstrict Hausdorff dimensionを持つ。

 strict Hausdorff dimension one を持つ, ですね.
この strict というのは, γ([a, b]) のハウスドルフ次元が
「ちょうど」1, という感じでしょう.

> です。簡単に言えば有限の長さを持つ曲線の事で
> Koch曲線はrectifiableでない例と言えると思います。
> 
> [Theorem2.4] Supose the curve γ is continuous and quasi-simple. Then γ
> is rectifiable if and only if Γ={γ(t);a≦t≦b} has strict Hausdorff
> dimension one. Moreover, in this case the length of the curve is
> precisely its one-dimensional measure m_1(Γ).
> 
> まず 必要性「γがrectifiable⇒dimγ([a,b]))=1」について
> 最後でm_1(Γ)=LならdimΓ=1がどうして言えるのでしょうか?

 0 < L < ∞ で, m_1(Γ) = L ですから, 当然ですね.

> Hausdorff次元の定義は
> m_β(Γ)=0 (α<βの時), m_β(Γ)=∞ (α>βの時)の時,
> dimΓ=αとなるのですよね。
> m_β(Γ)=0 (1<βの時),m_β(Γ)=∞ (1>βの時)とどうして言えるのでしょうか?

 Γ の α 次元 Hausdorff measure m_α(Γ) が α について
単調減少であるのは宜しいでしょうか.

 δ = sup { α | m_α(Γ) = ∞ } とすると, δ が Γ の
 Hausdorff dimension であり, α < δ のとき, m_α(Γ) = ∞
ですから, m_1(Γ) < ∞ より 1 < δ ではありません.

又, δ < α のとき, m_α(Γ) = 0 (であることも御存知ですね)
ですから, 0 < m_1(Γ) より δ < 1 でもありません.

従って, δ = 1 です.

> 十分性については
> dimγ([a,b]))=1と上の議論からγがrectifiableである事が示される
> とありますがどうしてそんな簡単に言えるのでしょう?

 [a, b] の任意の分点 Δ = { t_0, t_1, ... , t_n },
 a = t_0 < t_1 < … < t_N = b をとるとき,
 Γ_i = { γ(t) | t_{i-1} ≦ t ≦ t_i } とすると,
 m_1(Γ) = Σ_{i=1}^N m_1(Γ_i) ですが, 「上の議論」から,
 d(γ(t_{i-1}), γ(t_i)) ≦ m_1(Γ_i) であることを認めると,
 Σ_{i=1}^N d(γ(t_{i-1}), γ(t_i)) ≦ Σ_{i=1}^N m_1(Γ_i) = m_1(Γ)
となり, L = sup_Δ Σ_{i=1}^N d(γ(t_{i-1}), γ(t_i)) ≦ m_1(Γ)
は有限です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp