いつも大変お世話になっています。
プラント配布からの質問です。
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Hausdorff測度の性質4
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正の実数のHausdorff dimensionをstrict Hasudorff dimensionと呼びます。
連続で単射な写像をsimpleであると言います。
有限個の点以外で単射な写像をquasi-simpleであると言います。
γ:[a,b]→R^dがrectifiableであるの定義はγが[a,b]で連続でγ([a,b])がstrict Hausdorff
dimensionを持つ。
です。簡単に言えば有限の長さを持つ曲線の事でKoch曲線はrectifiableでない例と言えると思います。

[Theorem2.4] Supose the curve γ is continuous and quasi-simple. Then γ
is rectifiable if and only if Γ={γ(t);a≦t≦b} has strict Hausdorff
dimension one. Moreover, in this case the length of the curve is
precisely its one-dimensional measure m_1(Γ).

まず 必要性「γがrectifiable⇒dimγ([a,b]))=1」について
最後でm_1(Γ)=LならdimΓ=1がどうして言えるのでしょうか?

Hausdorff次元の定義はm_β(Γ)=0 (α<βの時),m_β(Γ)=∞ (α>βの時)の時,dimΓ=αとなるのですよね。
m_β(Γ)=0 (1<βの時),m_β(Γ)=∞ (1>βの時)とどうして言えるのでしょうか?
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十分性については
dimγ([a,b]))=1と上の議論からγがrectifiableである事が示されるとありますがどうしてそんな簡単に言えるのでしょう?