返事が遅くなりまして申し訳ありません。
> もしそうでなければ, 先に示した手順のようにして, それに
> v_1 とか w_1 とかを付け加えていくことになります.
:
> こういった場合も, 然るべく解釈して, 場合を分けずに
> 話を進めることが良くあります.
ありがとうございます。大変参考になります。
今回の問題の意味が分かってきました。Vの基底として色々なものが採れる(単に一次独立な基底や直交基底など)
それでV=V_0(+)V_p(+)V_nで
V_0:={v∈V;∀w∈V,<v,w>=0},V_pの元xはx≠0なら<x,x>>0を満たす,V_nの元はx≠0なら<x,x><0を満た
す。
そのような線形部分空間V_p,V_nを定めよ。
と言う問題なのですね。
> V_0 の基底 u_1, u_2, ... , u_t から出発して,
> V の一次独立なベクトルの列
> u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s
> で, 互いに直交し, <v_i, v_i> > 0, <w_j, w_j> < 0 となるもの
> が構成できたとします. (最初は v_i, w_j が存在しない場合です.)
> これらで生成される空間が V に一致していればお仕舞いです.
分かります。
> V に一致しない場合, これらで生成されないベクトル v を
> 取りましょう. Gram-Schmidt の直交化で,
> v' = v - Σ_{i=1}^r (<v, v_i>/<v_i, v_i>) v_i
> - Σ_{j=1}^s (<v, w_j>/<w_j, w_j>) w_j
もし,まだu_1, u_2, ... , u_tしかみつかっていない場合,v∈V\span{u_1, u_2, ... , u_t}の場合は
V_0の基底{u_1, u_2, ... , u_t}のみで直交化v'=v - Σ_{i=1}^t (<v, u_i>/<u_i,
u_i>)u_i してやるのですね
> を作れば, v' は u_k, v_i, w_j の全てと直交し, それらでは
> 生成されないベクトルですから, 初めから v がそうなっている
> としましょう.
OKです。
> Case 1: <v, v> > 0 のとき.
> このときは v_{r+1} = v とします.
> Case 2: <v, v> < 0 のとき.
> このときは w_{s+1} = v とします.
OKです。
> Case 3: <v, v> = 0 のとき.
> v は V_0 の元ではありませんから,
このvはV_pかV_nのどちらかの元でもないのですね。
だとしたらvはV_pとV_nから生成された元でしかありえない。
ただ,V_0の元でない事だけは言える。
> <v, w> = 1 となる
> V の元 w が存在します.
なぜなら<v,w>≠0なるw∈V\span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}が存在しないとしてみると
この∀w∈V\span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}に対して,<v,w>=0でなければならず,
∀w∈span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}に対しも<v,w>=0となり
(∵vはu_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_sで直交化済み)
v∈V_0となり,u_1, u_2, ... , u_t以外に一次独立なu_1, u_2, ... , u_t,v∈V_0が採れた事になり
{u_1, u_2, ... , u_t}がV_0の既に基底であった事に矛盾)
> w は u_k, v_i, w_j, v では
> 生成されない元です.
既にご回答頂いた通り,
もし,w∈span{u_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_s}だとすると,<v,w>=0となり
(∵vはu_1,u_2,…,v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_sで直交化済み)
これは<v,w>=1に反する。
> やはり Gram-Schmidt の直交化で
> w' = w - Σ_{i=1}^r (<w, v_i>/<v_i, v_i>) v_i
> - Σ_{j=1}^s (<w, w_j>/<w_j, w_j>) w_j
> を作ると,
なぜu_1, u_2, ... , u_t無しで直交化するのかは
既にwはu_1, u_2, ... , u_tと一次独立状態なので
v_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_sのみで直交化して
u_1, u_2, ... , u_tと一次従属になる事はあり得ないからなのですね。
> <v, w'> = 1 のままで,
なぜなら<v,w'>=<v,w-Σ[i=1..r]v_r-Σ[i=1..s]w_i>
=<v,w>-<v,Σ[i=1..r]v_r>-<v,Σ[i=1..s]w_i>
=1-0-0=1
ですね。
> w' は u_k, v_i, w_j
> の全てと直交します. w が初めからそうなっていると
> しましょう.
OKです。
> Case 3-1: <w, w> > 0 のとき.
> このときは v_{r+1} = w とします.
> Case 3-2: <w, w> < 0 のとき.
> このときは w_{s+1} = w とします.
OKです。
> Case 3-3: <w, w> = 0 のとき.
> <v, v> = 0, <w, w> = 0, <v, w> = 1 ですから,
> <v + w, v + w> = 2 > 0, <v - w, v - w> = - 2 < 0
> となっています.
vとwは既にv_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_sと直交化済みなので
v+wやv-wもv_1,v_2,…,v_r,w_1,…,w_sと直交してますね。
> v_{r+1} = v + w, w_{s+1} = v - w
> とします.
OKです。
> こうしていずれの場合も性質を満たす一次独立な V の
> ベクトルの列で, 個数が増えたものが構成できます.
> V が有限次元であれば, この構成を続けることにより
> V の直交基底で求める性質を満たすものが得られる
> ことになります.
納得です。
>> この場合のv(≠0)はV_pの元でもV_nの元でも,勿論V_0の元でもない
>> Vの元という状態になるので V⊃V_p(+)V_n(+)V_0(+)V'という
>>V'が存在し,v∈V'になっているかも しれな
>> いという訳ですね。
> いえそうではありません. 未だ V_p, V_n は見つかって
> いないのです. V の基底となる
> u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s
> が見つかった後で, V_p, V_n は構成されるものです.
うーん,ここがまだよくわかりません。
V_pの元xは少なくともx≠0なら<x,x>>0を満たす,V_nの元は少なくともx≠0なら<x,x><0を満たす。
そのような元で線形部分空間をなしているものなのですよね。
で現に<v,v>=0の場合はv∈V\span{u_1, u_2, ... , u_t}から採ってきて直交化したものなので
v≠0で,そして,V=V_p(+)V_n(+)V_0(+)V'というV'は有り得ない。しかもこのvはV_pの元でもV_nの元でもない
(∵少なくともV_pとV_nの条件を満たしていない)。
よって,後,考えられる事はこのvはV_pの元とV_nの元とで生成される元なのですね?
> 非定値な内積を扱う場合, <v, v> = 0, <w, w> = 0, <v, w> = 1
> となる v, w が出て来るのが特徴的です. R^2 の内積として,
> <(x_1, y_1), (x_2, y_2)> = x_1 y_2 + x_2 y_1 を与えると
> v = (1, 0), w = (0, 1) がそうなります.
<v,v>=<(1,0),(1,0)>=0, <w,w>=<(0,1),(0,1)>=0, <v,w>=1となりますね。
v,w∈span(V_p∪V_n)となりますね
(∵(1,1)∈V_p,(1,-1)∈V_nでv=1/2((1,1)+(1,-1))
w=1/2((1,1)+(-1,1)))。
> この R^2 の内積は
> で挙げた <(x_1, y_1), (x_2, y_2)> = x_1 x_2 - y_1 y_2
> という例と同値です.
> この例の場合にはどうなるか, 良くお考え下さい.
V_0={(0,0)},V_p=span{(1,0)},V_n=span{(0,1)}
と取れますね。
dimV_0=0,dimV_p=dimV_n=1となりますね。
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