大変ありがとうございます。お手数おかけましまして申し訳ありません。


> V_0 だけは下にあるように一意に決まります.
>  V_0 = { v ∈ V ; ∀w ∈ V, <v, w> = 0 }

そうですね。


> V_0, V_p, V_n のどの共通部分も {0} だけであることを
> 示すのは容易です.

これはV_pとV_nの条件からそうですね。


>> V_pは<v,v>>0の性質を持つVの規定の部分集合で生成されるらしいのです。 そしてSlyvester'sの定理 「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
>> product. There exists an interger r≧0 having the following property. If
>> {v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V, then there are precisely r
>> integers i such that <v_i,v_i>>0」 を使えば簡単らしいのですが…。
> これを使うには先ず直交基底を作らないといけないですね.
> Sylvester の定理で分かるのは, V_p, V_n の次元が
> 直交基底の作り方に依らないことだけです. だから,
> これで簡単に言えるわけではありません.

そうですか。


>> V_pとV_nがどんな集合か分からないのでまず線形部分空間である事が示せずにいます。
>>  上記の文意から V_p:={v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0} V_n:={v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
>> や V_p:={v∈V;<v,v>≧0,もしv≠0なら<v,v>>0} V_n:={v∈V;<v,v>≦0,もしv≠0なら<v,v><0} という
>> 集合かと思ったのですがどうも違うようなのです。
> それらは部分ベクトル空間ではありませんからね.
>> それぞれ V_p:={???} V_n:={???} どのように書けますでしょうか?
> ですから, 何かで書けるのではなく, 構成する必要が
> あるのです.

何となく分かってきました。つまり
<v,v>>0 for all v∈V_p,v≠0,
<v,v><0 for all v∈V_n,v≠0
とは
V_pの任意の元はv≠0なら<v,v>>0を満たす元,
V_nの任意の元はv≠0なら<v,v><0を満たす元,
と解釈すると
V_p:={v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0}
V_n:={v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
と書けない事もないがこれは間違いなんですよね。

"<v,v>>0 for all v∈V_p,v≠0,
<v,v><0 for all v∈V_n,v≠0"
と何と読めばいいのでしょうか(私の読み方は間違いなんですよね)?

"構成する"とは
V_pの任意の元はv≠0なら<v,v>>0を満たす元,
V_nの任意の元はv≠0なら<v,v><0を満たす元,
で少なくとも
V_p:={v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0}
V_n:={v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
とは異なる
V_p,V_nで線形部分空間の条件を満たすものがある(具体的に作れる)はずなのですね。


> V_0 の基底を u_1, u_2, ... , u_t として,
>  u_1, u_2, ... , u_t, v_1, v_2, ... , v_r, w_1, w_2, ... , w_s
> が V の基底となり, 互いに内積について直交し,
>  <v_i, v_i> > 0, <w_j, w_j> < 0,
> となるものを作って, V_p は v_1, v_2, ... , v_r によって
> 生成される部分ベクトル空間, V_n は w_1, w_2, ... , w_s に
> よって生成される部分ベクトル空間, とすることになります.
> 帰納的に構成するのですが, 先ずは一度お考え下さい.

帰納的にとはGram-schmidtの直交化法ですか。
u'_i=u_i-Σ[j=1..i-1]<u_i,u'_j>u'_j/<u'_j,u'_j> (i=1,2,…,n,但しi=1の時は
Σ[j=1..i-1]<u_i,u'_j>u'_j/<u'_j,u'_j>=0)
v'_i=v_i-Σ[j=1..i-1]<v_i,v'_j>v'_j/<v'_j,v'_j> (i=1,2,…,n,但しi=1の時は
Σ[j=1..i-1]<v_i,v'_j>v'_j/<v'_j,v'_j>=0)
w'_i=w_i-Σ[j=1..i-1]<w_i,w'_j>w'_j/<w'_j,w'_j> (i=1,2,…,n,但しi=1の時は
Σ[j=1..i-1]<w_i,w'_j>w'_j/<w'_j,w'_j>=0)
で直交基底{u'_1, u'_2, ... , u'_t, v'_1, v'_2, ... , v'_r, w'_1,
w'_2, ... , w'_s}が出来ましたが


"<v_i, v_i> > 0, <w_j, w_j> < 0,となるものを作って,"
これはどうすれば作れるのでしょうか?
うーん、全く見当も付きません。