ご回答大変ありがとうございます。

> 矛盾が生じたのであるから, この議論のどこかがおかしい
> わけです.
> どこに誤りがあるかを指摘せよ, ということでしょう.

了解いたしました。

>> sin(n_ix)は振動するだけだと思うので, 任意の
>> x∈[0,2π]に対してlim_{i→∞}f_{n_i}(x)が収束するような n_1<n_2<n_3<…は
>> 採れないと思うのですが勘違いしてますでしょうか?
> ある x ∈ [0, 2π] を固定するごとに,
> lim_{i→∞} f_{n_i}(x) = 0 となるような
> n_1 < n_2 < n_3 < … は取れます.

つまり,(1)は「∀x∈[0,2π]に対して,∃{n_i};lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」であるかどうかが問われているのですね。

> x = (2π) p/q で, p, q が整数であれば,

x=2π・(有理数)という形ですね。

> n_i が q の倍数であるように取っておけば良い.

納得です。

> x = (2π) r で, r が無理数であれば,
> 任意の正数 ε と, 任意の自然数 N について,
> n ≧ N であり, ある自然数 M について,
> 0 < (2π)(nr - M) < ε となる自然数 n が存在する
> ことが証明できますから,

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Real_Analysis/No4_20090726.jpg
という具合に証明できました。

> やはり
> lim_{i→∞} f_{n_i}(x) = 0 となるような
> n_1 < n_2 < n_3 < … は取れます.

「x = (2π) r で, r が無理数であれば,
：
0 < (2π)(nr - M) < ε となる自然数 n が存在する」
を使うとεとNを選ぶと
(2π)(n_1r - M_1)<εなるN<n_1とM_1が存在する。
次に,ε/2,N:=n_1と選ぶと
(2π)(n_2r - M_2)<ε/2なるN<n_2とM_2が存在する。
次に,ε/3,N:=n_2と選ぶと
(2π)(n_3r - M_3)<ε/3なるN<n_3とM_3が存在する。
：
となる訳ですよね。この時,n_1r - M_1>n_2r - M_2>n_3r - M_3>…>0
そしてn_1<n_2<n_3<…となっている事は分かりますが
この時,sin(2πn_1r)<sin(2πn_2r)<sin(2πn_3r)<…の関係になっているのでしょうか?

sin(n_ix)での自然数列{n_i}をどのように採ればいいのでしょうか?

> 貴方の上の議論だけから
> 任意の x について, 同時に,
> lim_{i→∞} f_{n_i}(x) が存在するような
> n_1 < n_2 < n_3 < … が取れないことを結論できません.

「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」と思い込んでました。

>> (4)についてはlim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0が一様収束なら
：
> Lebesgue の有界収束定理で,
> lim_{i→∞} ∫_0^{2π} [sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 dx = 0
> となります. 一様収束性は必要ありません.

なるほど。sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)→0 (as n→∞)はa.e.収束し,[0,2π]でsin(n_ix)は
Lebesgue可測で[0,2π]は有限測度
(∵λ([0,2π]=2π-0=2π<∞)なので有界収束定理が使えて
lim_{i→∞} ∫_0^{2π} [sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 dx
=∫_0^{2π} lim_{i→∞}[sin(n_i x) - sin(n_{i+1} x)]^2 dxと書けるのですね。

>> 直接,積分してみると∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx
>> =∫_[0..2π]sin(n_ix)^2dx
> sin^2(n_i x) = (1/2)(1 - cos 2 n_i x)

半角の公式が使えましたね。

>>  -2∫_[0..2π]sin(n_ix)sin(n_{i+1}x)2dx
：
> 途中の計算は間違っていますが, 結果は正しい.

ありがとうございます。恐れ入ります。

>> lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=lim_{i→∞}2π=2π.
> というのが (5) ですね.
>> よって(5)が正しくて(4)はCONTRADICTION。 と答えればいいのでしょうか?
> (4) も (1) を前提とすると正しい. だからどう結論しますか?

う゛っ。 (5)は(1)を前提としなくても成立するので(5)は必ず正しいと思います。
やはり, (1)の文意は「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」ではないんですかね。
「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」なら明らかに偽ですよね。