いつも大変お世話になっております。

[Q.] For n=1,2,3,…, let f_n:[0,2π]→R be defined by f_n(x)=sin(nx), for
all x∈[0,2π].
Choose a sequence n_i, so that n_1<n_2<n_3<…,and
(1) lim_{i→∞}f_{n_i}(x) exists for all x∈[0,2π].
From this follows
(2) lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0 exists for all x∈[0,2π].
From this follows
(3) lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2=0 exists for all x∈[0,2π].
From this follows
(4) lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=0
But
(5) lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=2π
which is an obvious CONTRADICTION.
What do you conclude from this?
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Real_Analysis/No4_20090726.jpg

という問題です。あまり問意がよく分からないのですが
これは矛盾を探せばいいのでしょうか。

(1)については f_2(x)=sin(2x),f_3(x)=sin(3x),f_4(x)=sin(4x),… でこれらは[0,2π]の区間
で
周期が2π/2,2π/3,2π/4,… となっていき,
n_1<n_2<n_3<… ならただx軸方向に波を押し縮めたようなグラフになっていくだけで
x=0とx=2πの時だけがf_{n_i}(x)=0でlim_{i→∞}f_{n_i}(x)が存在し,それ以外のx∈[0,2π]ではsin
(n_ix)は振動するだけだと思うので,
任意のx∈[0,2π]に対してlim_{i→∞}f_{n_i}(x)が収束するようなn_1<n_2<n_3<…は採れないと思うのですが勘違いし
てますでしょうか?

(2)についてはもし任意のx∈[0,2π]に対して,L:=lim_{i→∞}f_{n_i}(x)が収束するようなn_1<n_2<n_3<…が採
れたとすると
lim_{i→∞}sin(n_ix)もlim_{i→∞}sin(n_{i+1}x)も収束するので
lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=lim_{i→∞}sin(n_ix)-lim_{i→∞}sin(n_{i
+1}x)=L-L=0
となると思います。

(3)についてはlim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0なら
lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2=lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]
lim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]
=0・0=0

(4)についてはlim_{i→∞}[sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]=0が一様収束なら
lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=∫_[0..2π]lim_{i→∞}[sin
(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx(∵項別積分の定義)
=∫_[0..2π]0dx=[C]^2π_0(但し,Cは積分定数) =0となりますが一様収束かどうかは判断できませんよね。
直接,積分してみると∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx
=∫_[0..2π]sin(n_ix)^2dx-2∫_[0..2π]sin(n_ix)sin(n_{i+1}x)2dx+∫_[0..2π]
sin(n_{i+1}x)^2dx
=[-(sin(n_ix)cos(n_ix)-n_ix)/2]^2π_0-2[(sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x))/(n_i-
n_{i+1}]^2π_0+[-(sin(n_{i+1}x)cos(n_{i+1}x)-n_{i+1}x)/2]^2π_0
=2n_iπ/2n_i+0+2n_{i+1}π/n_{i+1}=2πなので
lim_{i→∞}∫_[0..2π][sin(n_ix)-sin(n_{i+1}x)]^2dx=lim_{i→∞}2π=2π.

よって(5)が正しくて(4)はCONTRADICTION。
と答えればいいのでしょうか?

吉田京子