工繊大の塚本です.

In article <dfb585d8-4758-49e9-96bc-722b9cc0db0c@z4g2000prh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> つまり,(1)は「∀x∈[0,2π]に対して,∃{n_i};lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」
> であるかどうかが問われているのですね。

違います. (1) の主張は
「∃{n_i}, ∀x ∈ [0, 2π], lim_{i→∞} sin(n_i x) = 0 」
です. そうでなければ, (4) が導かれません.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Real_Analysis/No4_20090726.jpg
> という具合に証明できました。

その URL は違うようですね.

> 「x = (2π) r で, r が無理数であれば,
> ：
> 0 < (2π)(nr - M) < ε となる自然数 n が存在する」
> を使うとεとNを選ぶと
> (2π)(n_1r - M_1)<εなるN<n_1とM_1が存在する。
> 次に,ε/2,N:=n_1と選ぶと
> (2π)(n_2r - M_2)<ε/2なるN<n_2とM_2が存在する。
> 次に,ε/3,N:=n_2と選ぶと
> (2π)(n_3r - M_3)<ε/3なるN<n_3とM_3が存在する。
> ：
> となる訳ですよね。この時,n_1r - M_1>n_2r - M_2>n_3r - M_3>…>0
> そしてn_1<n_2<n_3<…となっている事は分かりますが
> この時,sin(2πn_1r)<sin(2πn_2r)<sin(2πn_3r)<…
> の関係になっているのでしょうか?

関係が変です.

 0 < x < π において, 0 < sin x < x ですから,
自然数 n_i, M_i を n_i < n_{i+1}, 0 < (2π)(n_i r - M_i) < 1/i
となるようにとれば, x = 2πr について,
 sin(n_i x) = sin(2π n_i r) = sin((2π)(n_i r - M_i)) であり,
 0 < sin(n_i x) < 1/i となります.

> う゛っ。 (5)は(1)を前提としなくても成立するので(5)は必ず正しいと思います。
> やはり, (1)の文意は「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」
> ではないんですかね。

だから, そうです.

> 「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」なら
> 明らかに偽ですよね。

 (1) を仮定すると, (4) が導かれて, (5) と矛盾するのだから,
 (1) が偽であることが証明できたことになります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp