ご回答大変有難うございます。

結論は「SがHausdorff次元ln3/ln2を"きっかり"持つ」というのですね。余談ですがHausdorff次元を複数持つ図形ってあるので
しょうか?

>> 『不等式m_α(S)≦1はこしらえ方から直ぐに言える』 これはαの値は分からないんですよね。
> いえ, α = log 3/log 2 です.

えっそうなんですか。。

>> m_α(S)=lim_{δ→0}inf{Σ_{j=1}^∞ (diamF_j)^α;S⊂∪_{j=1}^∞ F_j} S_0
>> の面積が1/2・√3/2・1/2=√3/8<1なので≦1と言えますね。
> S_0 の面積は √3/4 でしょう. ともあれ, それと
> m_α(S) ≦ 1 とは無関係です.
> # m(S) ではありません. m_2(S) でも少し違う.

するとα =log 3/log 2の時,m_α(S)≦1となるのはどうしてでしょうか?

>> 『0<δに対し,2^-K<δとなるようにKを選べば, 集合S_Kは,直径が2^-K<δの3^K個
>> の三角形からなっていてSを覆うので』 はTheorem2.5の上記のSierpinski triangle
>> の作り方の説明から分かります。
>> 『H_α^δ(S)≦3^K(2^-K)^αとならねばならない』
>> 右辺は直径2^-Kの小三角形らでぴったし覆ったものなので下限と解釈できますね。
> 右辺は下限を取るべき値の集合のうちの一つです.
> 左辺は下限を取った結果です.

そうですね。右辺はぴったし覆ったものの直径の総和になってませんね。単に直径2^-Kの集合3^K個の直径の総和になっているだけでしたね。

>> そして2^-K<δですから H_α^δの単調増加性(δ→0ならH_α^δは単調増加)から
>> この不等式は成り立ちますね。
> 単調増加性は無関係です.

そうでしたか。失礼いたしました。

>> 『しかし2^α=3であるから我々はH_α^δ(S)≦1と分かり,
>> m_α(S)≦1』 2^α=3は何処から来たのでしょうか?
> それが α の定義です. だから, α = log 3/log 2 なのです.

この定理ではα=log 3/log 2を持つ事を示しているのですよね?
なのにα = log 3/log 2と仮定してしまっているのはどうしてでしょうか?
どのような手順で証明されてあるのでしょうか?

>> それに2^α=3は無くても冒頭の"m_α(S)≦1"と H_α^δ(S)のm_α(S)への
>> 単調増加性から 必然的にH_α^δ(S)≦1は言えると思うのですが…。
> α を決めずに, m_α(S) ≦ 1 などということが言える筈が
> ありません.

兎に角,α = log 3/log 2と仮定してあるのですね。

>> 『不等式m_α(S)はより微小である』 これはそうだと思います。S_0⊃S_1⊃…　と進む連れて,
>>  S_Kを覆う直径2^-Kの小三角形の総面積もどんどん小さくなっていきますから
>> ね (たとえ任意のαで累乗してあっても)。 ん? でもH_α^δは直径δが小さくなればなるほど
>> 増加していくのですよね。 なんか矛盾しまんかね?
> なかなか詩的想像力に富んでいますね. しかし, 書いてあるのは
> 「不等式 m_α(S) > 0 はもっと精妙である.」示すのが難しい
> ものである, ということです.

なるほど。Sは零集合になる得るかもしれませんものね。

>> 『diamF_j<δにおいてS⊂∪_{j=1}^∞ F_jとする。 我々が示したい事は
>> Σ_{j=1}^∞(diamF_j)^α≧c>0なる定数c が存在する事である。』
>> 何故,このようなcがと採れればいいのでしょうか?
> どんな diam F_j < δ となる S の被覆 S ⊂ ∪_{j=1}^∞ F_j
> についても Σ_{j=1}^∞ (diam F_j)^α ≧ c > 0 となるなら,
> そのような Σ_{j=1}^∞ (diam F_j)^α の下限である,
> H_α^δ(S) についても H_α^δ(S) ≧ c > 0 となり,

なるほど。これは納得です。

> m_α(S) ≧ c > 0 が分かるからです.

m_α(S)はδ→0の時,単調増加ですからm_α(S)≧c>0となりますね。
今,示したい事はm_α(S)>0なのですからそのようなcがあれば有難いですね。

>> 『明らかに各F_jはF_jの直径の2倍の球に含まれる』 これは
>> 何の事か全くわかりませんが。。どういう意味でしょうか?
> F_j というのは diam(F_j) < δ というだけで,

最大幅が<δというだけの集合ですね。

> どんな
> 形をしているのかわかりません. それでは扱い難いので,
> 球に取り直します. F_j の任意の点を取って, それを中心
> とする半径 diam(F_j) の球を取れば, F_j の点は全て
> その中に含まれます. この球の直径は 2 diam(F_j) です.

ああ、納得です。

>> 『それで2δをδで置き換える事とSはcompactという事気づけば』 これも2倍の
>> 球の意味が分からないので2δがδに置き換えるとは何の事かわかません。
> F_j を球 B_j に取り替えたときの被覆は diam(B_j) < 2δ
> の被覆です.

これも納得です。予めS⊂∪_{j=1}^∞ F_j with diamF_j<δ/2としておけばいいって事ですね。
この時,diam(B_j) <δとなりますからね。

>> Sがcompactになる事は分かります (∵S_0,S_1,…は
>> 有界閉集合なのでその共通部分も有界閉集合より)。
>> 『もし,S⊂∪_{j=1}^N B_j (但し,B={B_j}_{j=1}^Nは有限個の直径δ未満の球の族)
>>  ならΣ_{j=1}^N (diamB_j)^α≧c>0』 これも分かりません。 何故S⊂∪_{j=1}^N
>> B_j ならΣ_{j=1}^N(diamB_j)^α≧c>0なる定数cが 採れるのでしょうか
> 「 it suffices to show that 」というのが付いているでしょう.

そうでした。これは失礼いたしました。

> 「 ある定数 c があり,
>   S が, 有限個の直径 δ 未満の球の族 {B_j} により,
>   S ⊂ ∪_{j=1}^N B_j と被覆されるとすると,
>   Σ_{j=1}^N (diam B_j)^α ≧ c > 0 が成り立つ.」ことを
> 示せば十分である, というのです.

これが示せれば,0<m_α(S)≦1が言える訳ですね。


>> 『我々がこのような被覆球を持つと仮定せよ。B_jの最小直径を考えよ。
>> そして1/2^k≦min{diamB_j;1≦j≦N}≦2/2^kなるよう にkを選べ』
>> すいません。ここは何をやっているのでしょうか?
> だからそういう c があることを示していこうというわけですね.
> 証明はまだまだ続きます.

1/2^k≦min{diamB_j;1≦j≦N}≦2/2^kなるB_jを採れる事は分かります。
結局,cとしてどんな値が採れるのでしょうか?

> 意味が通じないのは, 書いてあることが間違っているのではなくて,
> あなたが読み間違っているのですから, もう少し丁寧に読解をする,
> 繰り返し読む, 等の対策が必要でしょう.

有難うございます。
段々,証明の手順が分かってきました。
つまり,α = log 3/log 2と仮定し0<m_α(S)≦1である事を示す。するとdimSとしてlog 3/log 2が考えられる
(勿論,log 3/log 2以外のαでも0<m_α(S)≦1となるかもしれないんですよね)。
α = log 3/log 2以外では0=m_α(S) or m_α(S)=∞となる事はどうすれば示せますでしょうか?