ご回答大変ありがとうございます。


> いえ, そちらではなくて, |f_k(x)| ≦ |g(x)| で g が可積分で
> あり, lim_{k→∞} f_k(x) = f(x) a.e. であれば, f_k, f は
> 可積分で, lim_{k→∞} ∫_Ω f_k(x) dμ = ∫_Ω f(x) dμ と
> なるというものです. そうか, これは普通ルベーグの収束定理と
> 呼んでいて, 有界収束定理とは言わないですね.

そうでしたか。ルベーグの収束定理を使うのですね。


>> 今,lim[k→∞]‖f_k-f‖_∞=0(f_kがfにL^∞収束
:
>>  (∵lim[k→∞]inf{K∈R;|f_k(x)-f(x)|≦K a.e.}=0) そしてμ(Ω)<∞…⑤(∵??)
> この仮定は, 従って, 要りません.

了解いたしました。


>> f_k, f は essential には有界だから, ある M > 0 について |f_k(x)
>> g(x)-f(x)g(x)|≦|f_k(x)-f(x)||g(x)|≦2M |g(x)| a.e.

そして題意"g∈L^1"より|g|は可積(∵L^1の定義)なのでgも可積(∵ある命題)


> これと, lim_{k→∞} f_k(x) g(x) - f(x) g(x) = 0 a.e. から

ルベーグの収束定理が使えて,


> lim_{k→∞} ∫_Ω (f_k(x) g(x) - f(x) g(x)) dμ = 0 が
> 導かれるわけです.

ルベーグの収束定理から忠実に
lim_{k→∞} ∫_Ω (f_k(x) g(x) - f(x) g(x)) dμ=∫_Ω0dμ
=0・μ(Ω)とここまで書けますがここから
=0はやはりどうすれば言えますでしょうか?
μ(Ω)<∞でないと=0に持っていけませんよね。
勘違いしてますでしょうか?

しかし仮にlim_{k→∞} ∫_Ω (f_k(x) g(x) - f(x) g(x)) dμ=0となったとしても
0=lim_{k→∞} ∫_Ω (f_k(x) g(x) - f(x) g(x)) dμ
=lim_{k→∞} (∫_Ω f_k(x) g(x)dμ -∫_Ω f(x) g(x) dμ)
から
=lim_{k→∞}∫_Ω f_k(x) g(x)dμ-lim{k→∞}∫_Ω f(x) g(x) dμ
に持っていくにはlim_{k→∞}∫_Ω f_k(x) g(x)dμが収束する事を言わねばなりません。
どうれすればlim_{k→∞}∫_Ω f_k(x) g(x)dμが収束する事が言えますでしょうか?


>> つまり,|f_k(x)g(x)|≦2M|g(x)|+|f(x)g(x)|a.e.…⑥ で2M|g(x)|+|f(x)g(x)|は定数…⑦。
> それは定数ではないです.

そうですね。


>> 従って,③,④,⑤,⑥,⑦より有界収束定理が使えて,
>> lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμが成立。 となるのですね。 ⑤はどうすれば言えますでしょうか?
> 「有界収束定理」という言葉を誤って使って誤解を引き起こした
> ようで申し訳ありません.

いえ、とんでもないです。とても勉強になっています。


(ii) p=1の場合だからそうですね。lim[k→∞]‖f_k(x)-f(x)‖_1=0だからそうですね。

> ことから, lim_{k→∞} ∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμ = 0 です …(ア)

L^1ノルムの定義からそうですね。


> ので, |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| ≦ M |f_k(x) - f(x)| が
> a.e. で成立していることと合わせると,
> ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ ≦ M ∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμ
> ですから,

補題「a≦f≦bがE上でμ-a.e.ならaμ(E)≦∫_Efd(x)dμ≦bμ(E)」というのを見つけました。
よって|f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| ≦ M |f_k(x) - f(x)|がΩ上でμ-a.e.なので
∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ ≦ M ∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμが言えるのですね。


> lim_{k→∞} ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ = 0 も
> 導かれる, というわけです.

よって ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ ≦ M ∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμのlimitを採
ると
lim[k→∞]0≦lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ≦lim[k→∞]M∫_Ω |f_k
(x) - f(x)| dμ
=Mlim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμ=0 (∵(ア))
よって挟み撃ちの定理からlim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ=0ですね。
それでこれからlim[k→∞](∫_Ωf_k(x)g(x)dμ-∫_Ωf(x)g(x)dμ)=0までも言えてしまうのは何故なのでしょうか?


>> ④のlim[k→∞]∫_Ω|f_k(x)-f(x)|dμ=0⇒lim[k→∞]|f_k(x)-f(x)|dμ=0 は
>> どうすれば言えますでしょうか(多分,逆は言えなかったような)?
>  μ({ x ∈ Ω | |f_k(x) - f(x)| ≧ ε })
>  ≦ (1/ε) ∫_Ω |f_k(x) - f(x)| dμ
> ですから,

Chebyshev'sの不等式「f∈L^p⇒μ({|f|>α})≦1/α^p∫_Ω|f(x)|^pdμ」ですね。
それで0<∀ε∈R,lim[k→∞]∫_Ω|f_k(x)-f(x)|dμ=0.即ち,lim[k→∞]μ({x∈Ω;|f_k(x)-f(x)|
≧ε})=0(∵挟み撃ちの定理)


> 先程も言いましたように, f_k は f に
> 測度収束していますが, それから言えるのは, 部分列を
> とれば, a.e. で収束するということです.

測度収束の時,a.e.収束するような部分列が採れるのですね。
lim[k→∞]|f_k(x)-f(x)|=0は一般的に言えませんね。
(もはやこの話は当証明には無関係になってしまいましたが)


>> 今,lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0(f_kがfにL^p収束する)ので
>>  L^p収束の定義からf_kとfはΣ可測…①でなければならない。
>> そして題意g∈L^(p/(p-1))よりgもΣ可測…②(∵L^(p/(p-1)定義)
>> ①と②からf_kg,つまり{f_kg}もΣ可測,fgもΣ可測…③(∵ある命題より)
>>従って,f_kgもfgもΣ可測ならf_kgもfgも積分可能という命題があるんですかね?
> 違います. f_k, f が L^p に属し, g が L^q に属すので,
> f_k g や f g は L^1 に属することが先ず分かっている
> わけです. H\"order の定理の証明の一部でもあります.

「0<p<q<∞でμ(Ω)<∞ならばL^q⊂L^p」という補題がありました。
よって今,0<1<p,q<∞なのでL^p,L^q⊂L^1なのですね。


> 「測度」というのはどうしてでしょう. f, g は可測関数で
> 問題ありません.

定義域が可測集合ではなくσ集合体になっているからです。


> |f|^p, |g|^q が可積分でなければ, 右辺は無限大になると考えれば,
> その仮定も要りません.

了解いたしました。


>> ここで lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}=0(∵題意), ∫_Ω
>> |g(x)|^q dμ)^{1/q}<∞(∵題意)より lim[k→∞](∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p
>> dμ)^{1/p}×(∫_Ω |g(x)|^q dμ)^{1/q}=0 従って,lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x)
>> g(x) - f(x) g(x)| dμ=0で
> これでお仕舞いですね.

えーと,ここが混乱しています。
lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}=0(∵題意), ∫_Ω
 |g(x)|^q dμ)^{1/q}<∞(∵題意)はわかります。
しかも仮定からlim[k→∞]‖f_k(x)-f(x)‖_1=0と ‖g(x)‖_1<∞ですよね。
|∫_Ωf_k(x)g(x)dμ-∫_Ωf(x)g(x)dμ|=|∫_Ω(f_k(x)-f(x))g(x)dμ|
≦∫_Ω|f_k(x)-f(x))g(x)|dμ=lim[k→∞]‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1

でここからlim[k→∞]‖f_k(x)-f(x)‖_1=0と ‖g(x)‖_1<∞を使って
=0を引き出すのだと思います。

どうすればlim[k→∞]‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1=0が言えますでしょうか?


> どこかで H\"older の定理の証明は確認されておくと良い
> でしょう. 「 f が L^p で g が L^q のとき fg は L^1 」
> というのも重要です.

了解いたしました。