工繊大の塚本と申します.

In article <d0f4089f-9203-4b65-9ef4-e3171dacd12b@y1g2000pra.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Q] Let (Ω,Σ,μ) be a measure space and suppose f_k→f in L^p (1≦p≦∞).
> Show, for any g∈L^q (1/p+1/q=1), that ∫_Ωf_k(x)g(x)dμ→∫_Ωf(x)g(x)dμ.
> 
> という問題です。
> 
> p=∞(q=1)とp=1(q=∞)と1<p<∞(q=p/(p-1))の3パターンで吟味しないと
> いけないと思います。 

それが良さそうですね.

> 書き下すと
> 
> (i) p=∞の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_∞=0
> (つまり,lim[k→∞]inf{K∈R;|f_k(x)-f(x)|≦K a.e.}=0)ならば
> ∀g∈L^1:={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|dμ<∞}に対して,
> lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。

 f_k, f は essential には有界ですから, ある M > 0 について
 |f_k(x) g(x) - f(x) g(x) | ≦ |f_k(x) - f(x)||g(x)| ≦ 2M |g(x)|
が a.e. で成立し, 2M |g(x)| が可積分ですから, 有界収束定理が
使えます.

> (ii) p=1の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_1=0
> (つまり,lim[k→∞]∫_Ω(f_k(x)-f(x))dμ=0)ならば
> ∀g∈L^∞:={g;gはΣ可測,gはa.e.有界}に対して,
> lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。

ある M > 0 について |g(x)| ≦ M が a.e. で成立しますから,
 |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| ≦ M |f_k(x) - f(x)| が a.e. で
成立. 両辺が積分可能ですから, 後は簡単ですね.

> (iii) 1<p<∞の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0
> (つまり,lim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^pdμ)^(1/p)=0)ならば
> ∀g∈L^(p/(p-1)):={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|^(p/(p-1))dμ<∞}に対して,
> lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。

この場合には,

  |∫_Ω f_k(x) g(x) dμ - ∫_Ω f(x) g(x) dμ|
  ≦ ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ
     = ∫_Ω |f_k(x) - f(x)||g(x)| dμ
     ≦ (∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}×(∫_Ω |g(x)|^q dμ)^{1/q}

を使えば簡単ですが, 最後のところの H\"older の
不等式の証明は終わっているのでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp