ご回答大変有難うございます。

>> ZFC公理系は集合に関する公理だとするなら圏はどのような公理を使うのですか?
>> それとも圏には公理というものは存在しないのでしょうか?
> category の公理も

category(通常はsmall category)の定義ではなく公理ですか。

> metacategory の公理も text に
> 書いてあるではありませんか. 箇条書きになっていない
> から分かり難いですか.

すいません。ちょっと分かりにくいです。categoryとmetacategoryの公理とは何なのでしょうか?

>> この範疇の事を"領域"そして領域に無矛盾な
>> 公理系が存在する時, "数学的体系"と呼ぶのですね。
> 何だか, 誤読・深読みですね. 忘れて下さい.
> category であれば, category としての公理を
> 満足しているものが, category という数学的体系です.

すいません。これはどういう意味でしょうか?
「AならばAであるものがAである」???

"categoryであれば"は既にcategoryの公理を満たしているという仮定のように聞こえますが。。

>> あと,領域にも空領域はあるのでしょうか?
> これは意味不明です.

これは単に0に相当するものがあるのだろうかと思っただけでした。

>> つまり,領域(何らかの集まり)が
> まあ, 弁別可能な数学的対象が,

領域とは言わないのですね。
"弁別可能である"とはどういう意味でしょうか?
真偽がはっきりしているという意味でしょうか。だとしたら弁別可能な数学的対象とは命題の事ですよね。

>> 各分野(集合論や幾何学)にての公理系を満足するならその領域は
>> 「何々公理系の数学的体系をなす」と言ったりするのでしょうか?
> A の公理系を満たしているなら, それを A という数学的体系だと
> 言うわけです.

えーと,ここは例えば,命題がZFC公理系を満たしているならば,
その命題はZFCという数学的体系であるというのですね。
つまり,矛盾・無矛盾に拘らず公理系を持つ命題は数学的体系と呼ばれるのですね。

>> 例えば,或る領域がZFC公理系を満たす領域なら
> ZFC 公理系を満たす数学的対象というものは
> 直感的に了解可能ではないでしょうけれども,

ZFC公理系は直感では捉えにくい公理系だが,ラッセルのパラドクスなどなどの矛盾を克服した公理系で無矛盾なのですね。

>> その領域は集合の数学的体系と呼ばれる。。みたいに表現するのでしょうか?
> まあ, 集合論が展開できる数学的対象はある, と
> 考えないと始まりませんからねえ.

ZFC公理系はつまり最初に空集合の存在を認めてから9つの公理が作られたのですね。

>> メタグラフは数学的体系の一種なのですね。
>> そしてメタ圏はメタグラフの一種なのですね。
> 幸いにして, metagraph になっている数学的対象とか
> metagraph であるばかりでなく metacategory に
> なっている数学的対象とかには事欠きません.

数学的体系だがmetagraphでない例や
metagraphだがmetacategoryでない例は
どのようなものがありますでしょうか?

>> arrow(やmorphism)やdomainは集合での対応や始集合に相当する概念ですね。
> arrow というのは写像の抽象化ですし,

「抽象化」=「一般化」という解釈でいいのでしょうか?

> domain は写像の始集合に対応するもので結構です.

了解いたしました。

>> Mor(何々)と表記されたのを見かけた事があるのですが
>> これは"何々"のarrow全体の数学的体系を表しているのですね。
> ここでの数学的体系というのは category でして,
> arrows 全体は category を構成する要素ですね.

つまり,metacategory(通常はcategory)はarrowという"要素"(?)というmetacategory(通常は
category)の直積の一部(つまり,部分集合に相当するもの)を要するのですね。
metacategory(通常はcategory)はarrowを持つというのはmetacategory(通常はcategory)の定義になるの
でしょうか?
ここでの"要素"の定義とは何なのでしょうか?
後, metacategory(通常はcategory)Ob(A)とOb(B)の直積Ob(A)×Ob(B)はどのように定義されるのでしょう
か?

>> ZFC公理系ではcodomainは終集合に相当するのですね。
> ZFC とは関係なく, codomain というのは写像の終集合に
> 対応するもので結構ですが,

んん? 写像は集合にて定義される概念ですよね。
そして集合を定義する際にZFCを必要としますよね。

>> よって公理系が与えられた数学的体系をA,Bとすると
> どうして, A, B の二つなのでしょう.

射のdomainとcodmainは全く異なるmetagraphの対象でも定義されると思っていました。


射の定義はOb(A)をmetagraph、a,bをOb(A)の対象とすると,対(a,b)が射なのですね。

> objects の全体というのも, 一つの category を
> 構成する要素でして,

そうですね。objectsが無いと範疇は存在しようがありませんからね。
objectsがあって範疇があって,命題(弁別可能な数学的対象)があって公理系があって,
数学的体系ができて,metagraph,metacategory,categoryの順に出来上がるのですよね。


> その category における arrow f
> に対しては, dom(f) という object と codom(f) という
> object が定まることが公理にありますから,
> A = dom(f), B = codom(f) とするなら分かりますが,

そのような意味を言いたかったのです。
でもtext
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/category/category_p7.jpg
ではA = dom(f), B = codom(f) ではなくa=dom(f), b=codom(f)となっていますが。。

>> A×Bの対象(a,b)=:fをarrowと呼び,
> これは全く意味不明です. もう一度言いますが,
> arrow というのは写像 f: A → B の「抽象化」です.
> A を domain とし, B を codomain とする arrow は
> 一般に一杯あります.

つまり,対象は元でmetagraph A,Bが集合に相当すのですね。
そうですね。集合Aから集合Bへの集合というと沢山ありますね。

>> aをfのdomain,bをfのcodomainと呼び,a=domf,b=codfと表記するのですね。
> 一つの category については objects の全体というのは
> 一つ考えているだけで, domain の全体とか,
> codomain の全体とかを別々に考えているわけではありません.

でもtextでは射fやgについて個別にdomainとcodomainが存在するようですね。
CをmetagraphsとするとA={domf;fは}

>> (ただここでA×Bは何かと言われると集合での
>> 直積に相当するものとしか 答えようが無いのですが)
> だから, そんなものは考えていません.

そうしますと,写像の抽象化である"射"はどのように定義されるのでしょうか?

>> 難しいんですね。category,object,metagraph,metacategory,arrowらは無矛盾な
>> 公理系が与えられてうるような集まりというのが定義(?) という事になりましょうか?
> object とか arrow とかいうのは
> metagraph や metacategory や category といった
> 数学的体系を構成する要素ですから,

ここでの"要素"とは弁別可能な数学的対象(即ち,命題)なのですね。

> 同列に扱うのは間違いです.

"同列に扱う"とはどういう意味でしょうか?

> 公理系によって定められた metagrph や metacategory や
> category といった数学的体系のモデルは

"モデル"とは"例"と解釈して宜しいのでしょうか?

> 簡単なものが
> いくらでもありますから, それらを定める公理系が
> 無矛盾であるのは当たり前で, 余り問題になりません.

そうですか。metagraph,metacategory,categoryは常に無矛盾という事でしょうか?

>> でも最初の外延性の公理は 「一方の集合の任意の元が他方の集合の元に含まれ,
>> 他方の集合の任意の元がもとの集合に含まれる」 というものですよね。
> 何ですか, それは. 誤解を恐れず, 通常の言語で言えば,
> 「集合 x と y が同じ集合であるとは, a が x の元である時,
> a は y の元であり, 又, a が y の元である時, a は x の元である,
> ということである」です.

そうですね。外延性の公理は集合の同等について述べた公理でした。

>> ここで"集合"と"含まれる"の定義がなされていませんが
>> どのように定義してあるのでしょうか?
> 「集合」とか「元である」という述語

"述語"とは変数を含む命題の事ですね。

> とかが「無定義語」です.
> それは公理系を満たすものであるということで定義されている
> のです.

なるほど。分かってきました。

>> うーんとここはつまり,何らかの集まり(object)や集まりの直積(arrow)が矛盾の無い
>> 公理系を持つならばこの集まりを数学的体系と呼びましょう という事ですね。
> だから, objects が何か, arrows が何か, が定まっていて,
> それらについて, category の公理が成立しているなら,
> それを category という数学的体系として理解するわけです.

例えば,objectsは集合とし,arrowsは写像と決めて(この時点でZFC公理系が存在している),
category(通常はsmall category)の公理
「集合の集合Oはmetagraphで写像の集合Aがあり,domとcodというAからOへの写像が存在し,
写像の合成可能対な集合がある」
を満たす時,Oを集合でのcategoryと呼ぶ事にするのですね。

つまり,弁別可能な数学的対象(命題)があって,objectsがあって,何かの公理系(例えば,ZFC公理系)があって,
arrowsがあって,数学的体系になってcategory(通常はsmall category)の公理を満たして,晴れてcategory(通常は
small category)になる。のですね。

>> ちなみにZFC公理系を持つ圏は集合のメタ圏と呼ぶのですね。
> 集合全体(sets)を objects とし,

集合全体は数学的体系で(∵ZFC公理系を持つ弁別可能な数学的対象(命題)なので)
その個々がobjectなのですね。

> 任意の集合から任意の集合への
> 写像の全体を arrows とすると, sets は metacategory に
> なります.

setsはZFC公理系を持つ数学的体系でしたね。
その数学的体系がarrowsを持つという公理を満たすと,setsはmetagraphになり,
metacategory(通常はcategory)の公理を満たすからsetsはmetacategory(通常はmetacategory)になっ
て,
更にはcategory(通常はsmall category)の公理を満たすので,setsはcategory(通常はsmall
category)になるのですね。

>> 射や対象において,等号「=」や合成写像
>> 「○」という集合の記号が使われてますよね。
> それは「集合論」におけるものと同じ意味を持つもの
> であるとは限りません.
> 等号「=」は普通の「同値関係」の
> 公理を満足するものであると仮定されていますが,
> 集合として同じであるというわけではないかも知れません.

"集合として同じであるというわけではないかも"はどういう事でしょうか?

> 「○」も, ある条件を満足する arrow の組に対して

"組"とは直積のobjectの事と解釈して宜しいでしょうか?
でもmetagraphに於いての直積の定義は無いのですよね。

> arrow を対応させる, arrows のある部分における
> 二項演算であるというだけです. まあ, そういうものを
> 普通「合成写像」と呼ぶわけですが.

そうですね。組というものが定義されていれば納得できます。

>> 今,ここでの領域は何の公理を持っているか分から
>> ないので 等号は定義不可能なのですね。
> むしろ, a と b が object のとき, a = b かどうかは決まっていて,
> f と g が arrow のとき, f = g かどうかは決まっています.
> それは given であるとお考え下さい.

objectとは弁別可能な数学的対象(命題)ですから,少なくとも真偽は決まっているのですよね。
「a = b」とは何かと言われると困るのですが直感での"同じもの"という自然な(?)
解釈による概念なのですね。

>> a,bが集合なら対応はa×bの部分集合と考えられますよね。 それで
>> 射を対応と捉えて対象a,bの直積a×bを射と言ってしまいました。
> arrow f が dom(f) = a で cod(f) = b のとき,
> f: a → b と書いて, 写像の如くに理解しても, 取り敢えずは
> 構いませんが, f は a×b の部分集合と同一視できるわけでは
> ありません.

え〜!? そうだったのですが。。

> 「写像とは a×b の部分集合で特定の性質を
> 満足するものである」といった具体的な構成から離れて,
> 写像の持つ, domain と codomain が決まっていて,
> domain と codomain が一致する写像は合成できる,
> といった性質を取り上げて, 抽象化したものが
> category における arrow です.

domainとcodmainは具体的な性質は考えないで,f:=(a,b)のaをdom(f),bをcod(f)とするのでしたよね。
そしてdom(g)=cod(f)の時はfとgは合成できるという訳ですから,
全てのarrow は全射な写像のように解釈するのですね。

> それにしても a×b の部分集合と a×b を混同するのは
> 無茶苦茶です.

そうですか。すいません。

>> すいません。公理から決まるとはどういう意味でしょうか?
> arrow f に対して, dom(f) という object と cod(f) という
> object が定まる, というのは category における公理の一つ
> です.

これはつまり,f:=(a,b) (aは数学的体系Aのobject,bは数学的体系Bのobject)なる組が存在するという意味ですね。
この公理には名前は付いているのでしょうか?

>> そういう記法とは「f:a→b」という風な記法の事でしょうか?
> 違います. a = dom(f), b = cod(f) となる arrows の全体を
> Mor(a, b) とは記していない, ということです.

Mor(a,b)はmetacategoryで用いられる記号ですよね。
そうしますとMor(a,b)は何を意味する記号なのでしょうか?

>> 本当はOb(P)は領域であって集合ではないので「∈」という記号は使えないのですよね。
> それもありますが,  ∈ が集合論における記号ではないという
> 了解があれば, 別に使っても構いません.

でも集合でない場合の「∈」はなんぞやと聞かれたら答えようがありませんよね。
objects全体(範疇)Ob(A)の個々のobject  aをa∈Ob(A)と表記する。
でいいのでしょうか?

>> もしかして,a,b,c∈Ob(P)でなければならないのでしょうか?
> そう, 一つの category では objects の全体というのは
> 一つだけ考えます. それが分かったなら, どうしてもう一度
> 初めから考え直さないのですか.

すいません。
弁別可能な数学的対象(命題)をobjectと言い,その集まりを範疇と言い,Ob(A)と表す。

範疇Ob(A)に無矛盾な公理系が加わったものが数学的体系で,
Ob(A)をある数学的体系とすると,下記の公理を持つ数学的体系をmetagraphと言う。
「a,b∈Ob(A)に於いて,f:=(a,b)という対をarrowと呼ぷ」
「arrow fに対してdomf=a,codf=bとする」
これら2つ公理(恒真命題)なのですよね。
どうして真と分かるのでしょうか?
直感ででも真であるかどうかは分からないのですが。。。
っていうかそもそも命題になっているのでしょうか?

そして,metagraph Ob(A)の「各object aに対し,恒等射(a,a)と言うものが存在する」,
「domg=codfなる2つの射f,gに対し,domh=domf,codh=codgなる合成射hが存在する」
という2公理を満たす時,Ob(A)はmetacategory(通常ではcategory)と呼ばれる。
ここでも2公理も命題になっているのでしょうか?

そしてmetacategory Ob(A)がZFCを持つならば,O上の積も存在し,
合成に関しての結合法則も成り立ち,右単位元と左単位元も存在するので
(∵Ob(A)は集合全体なので写像も定義でき,写像の性質より)
metacategoryがZFCを持てば自動的にcategory(通常はsmall category)となるのですね。

よってcategory(通常のsmall categoryの定義は「ZFC公理系を持つmetacategory」
だけでいいのではないでしょうか?

それとあと,数学的体系が出来上がる過程で範疇Ob(A)に無矛盾な公理系が加わって数学的体系をなす。
この時の無矛盾な公理とは何なのでしょうか?

>> ここでの○も本来は集合での記号ですが
>> 分かりやすいように数学的体系でも使用されているのですね。
> category での意味で使われています.

categoryはZFC公理系を持つmetacategoryですよね。という事はcategoryは集合全体なのですね。
という事はここの○は合成写像の記号そのものなのですね。

>> これが合成射の定義なのですね。これは写像と
>> 照らし合わせても上手くいってますね。
> それの抽象化ですから.

ここも
○はcategoryで使われる記号なのですよね。categoryは集合全体なので,○は合成写像の記号そのものでは??
どうして抽象化なのでしょうか?

>> ここでも本来なら「∈」という記号は使えないのですね。
>> Mor(a,b)はaからbへの射全体の数学的体系と言うのですね。
> category においての数学的体系というのは category そのものです.

それはcategoryの定義
「ZFC公理系を持つmetacategory」
でmetacategoryは数学的体系ですからcategoryの数学的体系はcategoryなのですね。

> Mor(a, b) というのはその構成要素である arrow の集まり
> というだけです. 「 arrow f について dom(f) = a, cod(f) = b である」
> ということを表す為に, 「 f ∈ Mor(a, b) 」という記号を
> 使っても構いませんが, それはあくまでも上の言明の省略として
> 考えて下さい.

つまり,対f:=(a,b)とf∈Mor(a,b)とは全く同じ意味の記号なのですか?
Mor(a,b)はmetacategoryで初めて使える記号なのですよね。
ZFC公理系を持っていないmetacategory,metagraph,数学的体系,範疇においては使用できないのですよね。
でもmetacategoryはZFC公理系を持つmetagraphなのですよね。
という事はmetacategoryは集合全体を意味しますから写像が定義できて,
Mor(a,b)が集合a(metacategoryでは対象は集合を意味する)から集合bへの
写像(metacategoryでは射は写像を意味する)全体の集合を表すと言えるのではないでしょうか?

category(通常でのcategory)ではmetacategoryでの記号Mor(a,b)は単にhom(a,b)と表されるだけなのでしょ
うか?

>> この1_aはdom1_a=codom1_a=aなのですね。
> はい.

了解いたしました。

>> この時,1_aはaでの右恒等射とか言うのですかね。
>> はい、この時,1_aはaでの左恒等射と言うのですかね。
>> 1_aがaについて右恒等射でもあり,左恒等射でも或る時,
>> 1_aはaでの恒等射というのですね。
> ともあれ, 「恒等射」に相当するものがある, というが
> 公理の一つです.

つまり,(a,a)というような対が作れるという公理ですね。
これは直感で真と感じますね。

>> すいません。領域,数学的体系,圏とmeta圏とmetagraphが
>> どんな位置関係にあるのかいまいち把握できずにいました。
>> 対象の集まりで無矛盾な公理系を持つものをmetagraphと言い,
> いいえ, objects と arrows が定まっていて,
> 「各 arrow f に対して object dom(f) と object cod(f) が
> 定まる」という公理を満足するものが metagraph.

有難うございます。arrowは∀a,b∈Ob(A)に対して定義され得るのですね。
そして任意のarrow f:=(a,b)に対して,dom,codは定義されているのですね。

>> 恒等射と合成射を持つmetagraphをmeta圏。
> その他にも「結合性」の公理と, 恒等射の性質についての
> 公理「単位元律」を満足している必要があります.

textではmetacategoryでなく,categoryが結合性と単位元律を要するように記されているようですが。

>> なるほど。対象が集合のmeta圏を圏というのですね。
> 誤解がなければそうです.

そうですか。結合性公理と単位元律公理は不要なのですね。

>> つまり,CをZFCで定義されたmeta圏とするのですね。
> 「 ZFC で定義された」という言葉をどういう意味で
> 使われているのか,

「ZFCを持った」と言い表せばいいでしょうか? どのような言い回しが妥当でしょうか?

> 良く分かりませんが, まあそうです.

そうするとmetacategoryは集合全体なのですね
(そしてcategoryも集合全体(∵categoryはmetacategoryの特別な場合なので))。
metacategoryにはZFCが保障されているのなら
恒等射や合成射や結合律や単位元律は自動的に成り立つのではないでしょうか?
これら4つは公理ではなく定理なのでは?

>> A:=Mor(a,b) (但し,a,b∈O)となっているのですね。
> A は全ての arrows の全体です. A = ∪_{a ∈ O, b ∈ O} Mor(a, b).

なるほど。納得です。このOはmetacategoryでしたね。
Morは集合で使われる記号ですから和集合の記号や「∈」の記号も難なく使えますね。

>> domA={a}⊂O, codA={b}⊂Oという風に
>> domとcodの像がOに含まれるので
> だから A = Mor(a, b) ではありません.

これは上記のご説明で分かりました。A = ∪_{a ∈ O, b ∈ O} Mor(a, b)なのですね。

ここで見る限りMor(a,b)は集合のようですね(∵和集合の記号が使われている事から)。

「Mor(a, b) というのはその構成要素である arrow の集まりというだけです.」というお話から
Mor(a,b)はやはり,domがaでcodがbなる写像(今,metacategoryでの話なので射ではなく写像)の集合と見て取れるのです
が。。
勘違いしてますでしょうか?

>> dom: A → O と cod: A → Oになっていますね。
> 分かっていますか.

これはf:=(a,b)∈A, a,b∈Oに対して,dom:f→a, cod:f→b
という事を意味して書いたのでした。

>> これは∀x∈Oに対して,id(x):=i_x∈A:=Mor(a,b)となっているのですよね。
> id(x) ∈ Mor(x, x) です.

ここでのid(x) ∈ Mor(x, x)はid(x)は(x,x)という対であるという意味なのですよね。

>> i_xは具体的にどんな恒等写像なのでしょうか?
> id(x) は dom(f) = x となる arrow f について, f○id(x) = f,
> cod(g) = x となる arrow g について id(x)○g = g,
> という公理から, その性質が定められます.

恒等射はmetacategory,つまり集合全体に於いての概念ですよね。
なので上記のようなid(x)は写像の定義から存在するので公理では定理なのではないでしょうか?

>> もしa∩b=φならMor(a,b)は恒等写像を持ちませんね。
> 　id(x) はそんなところには入っていません.

そうですね。id(x)∈M(a,b) (但し,a=b)なのですね。

>> これは分かります。
> 分かっていませんね.

すいません。

>> もしA:=Mor(a,b) (但し,a,b∈Oでa∩b=φ)ならA×_O A=φですよね。
> これは前提が成り立たない命題だから, 取り上げるまでもない.

えっ? A=Mor(a,b)とは書けないという事でしょうか?
どうしてでしょうか?

>>> a ∈ O について dom(id(a)) = a, cod(id(a)) = a であり,
>> ここでのidはid∈Mor(x,y) (但し,a⊂x⊂y,x,y∈O)
>> となっていないといけませんよね。
> id: O → A だと言ったでしょう. id は category における
> arrow ではありません.

分かりました。id_cとかがarrow(恒等射はcategory)ですね。
id  :  O → A
      c |→ id(c):=id_c
でしたね。

>> これは当たり前ですね。
> 「当たり前」ではなく, 「公理」です.

えっ?
(g,f)∈A×_O A:={(g,f);g,f∈A且つdomg=codf}に対して,
g○fをdom(f○g) = dom(g),cod(f○g) = cod(f)という2項演算だと定義してあるだけではないでしょうか?
やはり公理なのでしょうか?

>> f=(a,b)に於いて,a⊂bならそのように言えますね
>> (∵a⊂bでないならid(dom(f))が存在しない)。
> 全く分かっていませんね.

すいません。a⊂bでないならid(dom(f))が定義されませんね。
f:=(a,b)∈Aならf○id(dom(f))=f○id(a)=f○(a.a) (∵id(a)の定義)
=(a,b)○(a,a) (∵fの定義)
=(dom(a,a),cod(a,b))
(∵○の定義)
=(a,b)=f
と示せますね。

id(cod(f))○f =id(b)○f=(b,b)○f (∵id(b)の定義)
=(b,b)○(a,b) (∵fの定義)
=(dom(a,b),cod(b,b)) (∵○の定義)
=(a,b)=f
と示せますね。

それでもこれらは公理なのでしょうか?

>> CはZFC公理系のmeta圏(つまり,Cは圏)ですから,
>> object aは集合を表すのですね。
> C は category を表すと同時に, objects の全体 O も表しています.
> C (つまり O) は set であり, 集合論的な意味で a ∈ C です.
> その意味で, a も当然 set です.

そうですね。集合の世界では全てが集合で,a∈Oと書いたらaは集合Oに含まれる集合というだけの事ですよね。

>> そしてmeta圏Cが圏の時,Mor(a,b)は
>> hom(a,b)と表記すると書いてありますね。
> Mor(a, b) と書くことも, hom(a, b) と書くこともあります.
> それは text の著者の好みによることで, 特に区別があるわけ
> ではありません.

了解いたしました。その場合,Mor(a,b)やhom(a,b)は集合の世界での話しで集合aから集合bへの写像の集合を表すのですね。

>> 圏Cに於いてはc∈Cではcは集合を表し,
> c は object で, category の場合は set です.

えーと,つまり,CがcategoryでcがCのobjectならcもCも一応は集合なのですよね。

>> f in Cはf∈hom(a,b) (但し,a,b∈C)を表すのですね。
> f は arrow で, category の場合は a = dom(f), b = cod(f) について
> f ∈ hom(a, b) (でも Mor(a, b) でも良い) になります.

つまり,hom(a,b)やMor(a,b)はmetacategory以降の概念で使用される記号なのですね。
metacategory以前の概念,metagraph,数学的体系,範疇では用いられない記号なのですね。

>> "落とす"とはどういう意味でしょうか?
> set であることは metacategory では要求しない,
> それでも議論は, 差し当たり, 同じに進められます.

えっ,ZFC公理系と恒等射,合成射を持つmetagraphがmetacategoryなのですからmetacategoryのobjectは集合に
なるのですよね。

> # 勿論, 違いが出てくる局面もありますが.

すいません。違いとはどういう事でしょうか?

>> 纏めるとcategory(又はsmall category)の定義は 「metacategory
>> Oはcategory(又はsmall category) ⇔(def) OはZFC公理系で
>> 定義された数学的体系で 合成写像を2項演算子として半群をなし,
> 合成 ○ は A ×_O A 上で定義されているので,
> O が半群をなすわけではありません.

Aが○について半群をなすのですね。

>> 左単位元(左恒等写像)と右単位元(右恒等写像)を持つ」
> O の各元に対して, 恒等射が存在する, です.

「∀a∈Oに対して,(a,a)なる対が存在する」ですね。

>> ですね。 ZFC公理系が保障されているのなら, A×_O Aや
>> 左恒等写像や右恒等写像は自動的に存在すると思うのですが…。
> 勝手な a から b への写像が hom(a, b) の元であるわけでは
> ありません.

え?  どういうことでしょうか? hom(a,b)はmetacategory(つまり,集合全体)での射(つまり写像)の集合ですよね。

> id(x)∈hom(x, x) は一つの要請です.

xからxへの写像の集合h(x,x)があって,id(x)∈hom(x,x)という事ですよね。
これは納得です。

>> なので 「metacategory Oはcategory(又はsmall category) ⇔
>> (def) OはZFC公理系で定義された数学的体系である」 という
>> 定義でもいいような気がするのですが勘違いしてますでしょうか?
> もう一度言います. hom(a, b) は a から b への写像全体
> ではありません. その一部かも知れませんし, 写像自体では
> なくて, 写像の何らかの同値類の全体, 或いはその一部かも
> 知れません.

え〜? 何らかの同値類の全体とはどういうものでしょうか?
それがhomの本当の定義なのですね。

> O だけで category が決まるように思うのは全くの誤解です.
> むしろ, arrows の集合 A の方が大事です.

Oは弁別可能な数学的対象(命題)の集まり(範疇)でそのOにmetagraphの公理系(arrowなど)が加わって
metacategory,そしてcategoryが出来上がるのですよね。