ご回答大変ありがとうございます。


>> これならどうでしょう y=1/(x+1/n) (x≧-1/n+1/10^nの時), 0 (それ以外の時)
>> とすれば,f_nは有界でf_nとその極限関数fの積分値(面積)は, 常にΣ_{i=1}^∞1/n^2で抑えられていて,
> どうしてそう思うのか良く分かりませんが,
>  ∫_{-1/n + 1/10^n}^K 1/(x + 1/n)^2 dx
>  = [ - 1/(x + 1/n) ]_{-1/n + 1/10^n}^K
>  = - 1/(K + 1/n) + 10^n

Σ_{i=1}^∞1/n^2で抑えるには積分範囲をx=1からつまり,[1,∞)にしないと抑えられませんでした。
どうも失礼いたしました。

> ですから, ∫_R |f_n(x)|^2 dx = 10^n で n → ∞ のとき
> この値は → ∞ です.

ごもっともです。甘かったです。


> 極限関数 f は f(x) = 1/x  (x > 0), f(x) = 0  (otherwise)
> ですから, 二乗可積分ではありません.
> f(x) = 1/|x|^{1/3}  (|x| < 1), f(x) = 0  (|x| ≧ 1) 位が
> 非有界な L^2(R) の関数として典型的でしょう.
> f_n は y = n から上をつぶしたものとすれ良い.

面積は3/2に収束しますね。
どうもありがとうございました。