工繊大の塚本です.

In article <1e7e2116-a10f-4692-98fd-9e4ee6786359@v38g2000yqb.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> これならどうでしょう
> y=1/(x+1/n) (x≧-1/n+1/10^nの時),
> 0 (それ以外の時)
> とすれば,f_nは有界でf_nとその極限関数fの積分値(面積)は,
> 常にΣ_{i=1}^∞1/n^2で抑えられていて,

どうしてそう思うのか良く分かりませんが,

  ∫_{-1/n + 1/10^n}^K 1/(x + 1/n)^2 dx
  = [ - 1/(x + 1/n) ]_{-1/n + 1/10^n}^K
  = - 1/(K + 1/n) + 10^n

ですから, ∫_R |f_n(x)|^2 dx = 10^n で n → ∞ のとき
この値は → ∞ です.

極限関数 f は f(x) = 1/x  (x > 0), f(x) = 0  (otherwise)
ですから, 二乗可積分ではありません.

 f(x) = 1/|x|^{1/3}  (|x| < 1), f(x) = 0  (|x| ≧ 1) 位が
非有界な L^2(R) の関数として典型的でしょう.

 f_n は y = n から上をつぶしたものとすれ良い.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp