いつも大変お世話になっております。

Let H be a Hlbert space wiith inner product <, >. Label each of the
following statements TRUE or FALSE.

(1) Every subspace of H is closed.
(2) Every closed subspace S of H has a non-trivial complement S^⊥.
(3) Let S be a closed subspace of H. If there exists an f∈H such that
f
doesn't belong to S, then S^⊥≠{0}.
(4) If L is linear functional on H,then {f∈H;L(f)=0} is a subspace of
H.
(5) If L is linear functional on H,then {f∈H;L(f)=0} is a closed
subspace
of H.

という問題に取り組んでいます。

Hilbert空間の定義は
「HがHilbert空間 ⇔(def) (i) HはC上の内積ノルム空間である。
(ii) Hはノルムを距離として完備(つまり,∀{f_n}がCauchy列ならlim_{n→∞}f_n=f∈H)である。
(iii) Hは可分である(0<∀ε∈Rに対して,f∈Hなら‖f-f_i‖<εなるf_i∈Hが存在する(但し,‖‖はノルム))」
です。

(1)は偽です。何故なら,
H:=L^2(R):={f;fは可測関数,‖f‖_2:=(∫_R |f|^2dm)^{1/2}<∞},
S:={f∈L^2(R),fはリーマン積分可能},
f,g∈Hに対して,<f,g>:=∫_R fgdm(但し,mはルベーグ測度)
とすると HはHilbert空間となる(∵‖‖_2はC(複素数)上のノルムの定義を満たす,<,>は内積の定義を満たす。
など)
S⊂HでS⊃{f_n}はリーマン可積のCauchy列とすると,f_n→∃f∈Hだが
このfは必ずしもリーマン可積とは限らないそうなのですが
そのような具体例は何か探しています。リーマン積分不可能関数としてDirichlet関数が思いつきますが
Dirichlet関数に収束するようなリーマン可積関数が思いつきません。
はたまた,f_n=-x+nはどうかと思いましたがルベーグ積分と同様積分値が∞の場合でもリーマン積分不可能とは言わないんですよね。それでリーマン
不可能関数に収束するリーマン可積間数列としてどのようなものが採れますでしょうか?

(2) はHilbert空間の定義(ii)からHilbert空間は閉集合と分かります。それでS:=Hと採ってやれば
S^⊥={0}となり,trivial complementになるから偽。

(3) は真。もしS^⊥={0}なら,S=Hとなり(∵補空間の定義),f∈Hでf∈Sでないは矛盾。

(4) は真。α,β∈R,f,g∈{f∈H;L(f)=0}を採ると,L(αf+βg)=αL(f)+βL(f)=α・0+β・0=0なのでαf
+βg∈{f∈H;L(f)=0}.
よって{f∈H;L(f)=0}はHの部分空間。

らは大丈夫ですよね。

(5)は偽。もしLが不連続な場合が反例として挙げられるらしいのですが,
f_n→f(但し,f_nf∈{f∈H;L(f)=0}),L(f_n)=0でL(f)≠0なる線形汎写像と収束列{f_n}を探しているのですがなか
なか例が見つかりません。
どのような例がありますでしょうか?

吉田京子