工繊大の塚本です.

In article <2a652b8b-9b89-4526-9225-8b00a74c9ad9@g38g2000yqd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 勿論,広義積分も含めてリーマン可積とするわけです。

広義積分も絶対収束で考えるのでしょうね.

> リーマン積分不可能と言えば少なくとも無限個の不連続点を
> 持たねばならないのですよね。
> それでDirichlet関数しか思いつきませんでした。

とはいえ, L^2(R) の元としては, 測度零の集合上で
値を変えても不連続なものでないといけないので,
どうも面倒ですね.

> あ,今,H:=L^2(R)と考えてるのですね。
> S:={f∈L^2(R),fはリーマン積分可能,fは有界}と考えているのですね。
> f_n=-x+nならf_n∈Sですがその極限関数fはHすらにも含まれませんのでNGなのですね。

いや f_n, 或いは |f_n|^2 自体, R 上では可積分ではないでしょう.

> f_n(x)=1/(|x|+0.1)^{n+1}だとこの関数は∫_R f_n(x)dx <2∫_R 1/x^{n+1}dx
> <2Σ_{i=1}^∞ 1/n^2<∞
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/example_graph_20090316.jpg
> という風になり,f_nの極限関数fも∫_R |f(x)|^2dx<2Σ_{i=1}^∞ 1/n^2<∞だが
> fは非有界。

意味不明です. f_n → f となる f は, |x| < 0.9 で ∞ になります.
従って, f ∈ L^2(R) にはなりません. 又, f_n の積分では
意味がありませんが, その計算も間違っています.

> よってS内の関数列の集積点がSに属さないのでこのSは閉集合ではない。
> この例でもいいのでしょうか?

駄目です.

簡単な例は, 非有界で非負な L^2(R) の元を f として,
 f_n を f(x) < n のとき, f_n(x) = f(x),
 f(x) ≧ n のとき, f_n(x) = n として定めたものです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp