Takahasi Makoto wrote:
> この問題、SHIRAISHIさんがはじめに提起した、
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> 【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
> ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n−μ)／(σ/√n)≦β}
> は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
> 
> ------------------
> がすでに間違っているのではないか。

うんにゃ。これは正しいですよ。
もっともご本人からも訂正があったように、
正規化係数 1/√(2π) を掛ける必要がありますけど。
　# ところで「正規」(normal, normalize) というのは、「正規直交基底」
　# とかの場合のように大きさ等を規格化するという用語だから、
　# N(0,1) (μ=0, σ=1) は「正規正規分布」と呼んでもよさそうな
　# ものだけど、さすがにみっともないので「標準正規分布」ですね。
　# もっともこれは英語等からそのまま来ている（Standard Normal Dist.)。
　# 統計学と数学本流との用語の違いがこの原因らしい。

> 　常識的に考えても、nが大きくなるほど平均値<X>_nのバラつきは小さくなる。

そうなんですけど、σ/√n で割っている点に注意。
これもどんどん小さくなりますから、バラつきの小さくなり加減と
バランスがとれてしまうんです。

> ＃上のことはさておいても、
> 　極限と確率(積分)の順序を変えて、
> 　　　　lim_(n→∞)Pr{　E_n　}  (確率の値の極限)と、
> 　　　　Pr{　lim_(n→∞)E_n　}　(極限事象の確率の値)が、
> 　一致すると決めてかかってよいものか？

これはまあその通り。

（平賀＠筑波大）