工繊大の塚本です.

In article <87e1089c-03db-4561-a62b-4896d982cec6@l20g2000yqm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> よって,{(y,z)∈2^{2^{Y∪Z}};y∈Y,z∈Z}も集合となる
> (∵分出公理「yが集合ならば{w∈y;P(w)}も集合とする」)

分出公理を用いるときの, (y, z) ∈ 2^{2^{Y ∪ Z}} という
書き方は, 手抜きの書き方です. 正確には
 Y × Z = { w ∈ 2^{2^{Y ∪ Z}} ; ∃ y ∈ Y, ∃ z ∈ Z, w = (y, z) } と
するものでしょう.
有限個の集合の直積は帰納的にも定義できますが,

> 同様にA_1×A_2×… も分出公理から集合である事が言えるのですね。

無限個からなる集合族の直積は, 帰納的にではなく,
既に述べた形で定義すれば, いつでも集合として定義できます.
既に述べた形の定義では, 集合族 {A_λ}_{λ∈Λ} において,
 Λ と ∪_{λ∈Λ} A_λ の直積集合が集合となることと,
分出公理が使われます.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp