ご回答誠に有難うございます。


>> A(≠φ)を全順序集合とする場合,Aから領域C(集合の集合?)への写像fが取れる
>> (∵選択公理)。
>> この時,A∋∀α→f(α):=E_α∈Cなるαによって決まるCの要素E_αが存在する(∵選択公理)。
>> この時,像f(A)を{E_α}_{α∈A}と書き,
>> 更に∀α∈Aに対し,e_α∈E_αなるe_αが取れる写像gが取れる(∵選択公理)。
>> この時,g(A)を{e_α}_{α∈A}(={e_α;α∈A})全体からなる集合
>> {{e_α}_{α∈A};e_α∈E_α}(=g(A);gはAからE_αへの選択写像})を
>> Π_{α∈A}E_αと書く。
>> という定義になろうかと思います。
> 貴方は「直積集合の定義」と「その定義による直積集合が
> 空集合ではないこと」とを混同しています.

そうでした。選択公理とは「その定義による直積集合が空集合ではないこと」を保障するものでした。

> 今, 集合論的に「直積集合」が集合として定義されることを
> 示すのが第一の課題ですから, 何かの「全体からなる集合」
> というだけでは不十分です. そのような「全体」が確かに
> 集合となることが確認できるような定義を与える必要があります.

これは仰るとおりですね。

> 選択公理は, そのように定義された「直積集合」が空集合
> ではないことを宣言するもので, それは又別のお話です.

これも仰り通りです。

> ということで, 貴方の「定義」では, 夾雑物を取り除いて
> 「直積集合」がどう定義されているかを見ると, 不十分である
> としか評価できません.

そうですか。失礼致しました。

>>> というところで, Π_{α ∈ A} E_α = ∩_{α ∈ A} (π_α)^{-1}(E_α)
>>> という式が意味を持つことになります.
> と書いたように, F = Π_{α ∈ A} E_α = ∩_{α ∈ A} (π_α)^{-1}(E_α)
> が F の定義です. Im(F) ∩ E_α が単集合になる, で何を
> 主張したいのかも分かりません.

任意のα∈Aに対してE_αに一つ元を持つ集合全体をΠ_{α ∈ A} E_αの定義としたかったのでした。

>>http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_produc...
>>http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_produc...
>>http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_produc...
>> を紐解いてみました。
> この記述は naive な集合論に基づくものですから,
> 今の問題の参考にはなりません.

そうでしたか。

> # 選出公理の意義については一応の説明がありますね.

はい。そうですね。

>> つまり,Λを任意の集合とし,((A_λ)_{λ∈Λ}:=)A∈Map(Λ,X)とする(但し,Xは任意の集合)。
> X は任意の集合ではありません.

空ではない集合でしたね。

> 集合族 (A_λ)_{λ∈Λ} について考える場合には, 少なくとも,
> 全ての λ について A_λ ⊂ X という条件が置かれています.
> 普通は X = ∪_{λ∈Λ} A_λ と取っておくことでしょう.

了解です。

> # 貴方の式で「 A 」が挟まっているのは, A_λ = A となる
> # 特別な場合のことに言及しようとしたのか, 集合族を
> # 表そうとしたのか, さっぱり分からないので,
> # 無視しておきましょう.

集合族を表したつもりでした。

>> この時,{a∈Map(Λ,∪_{λ∈Λ}A_λ);∀λ∈Λ,a(λ)∈A(λ)}:=Bを
> こう書けば一応正解です.

ありがとうございます。このBが直積集合なのですね。

>> A∈Map(Λ,X)の直積集合といい,Π_{λ∈Λ}A_λと表す。
> 「 A∈Map(Λ,X)の」直積集合というのは意味不明です.
> 「集合族 (A_λ)_{λ∈Λ} の直積集合」となっていれば,
> 正解です.

Aは集合族(A_λ)_{λ∈Λ}の意味で使っておりました。
「Aの直積集合といい,Π_{λ∈Λ}A(λ)と表す」なら正解ですよね。

>> 次にλ'∈Λに対して{a(λ')∈X;a∈B}を∪_{λ∈Λ}A_λからA_λ'への射影と言い,
>> proj_λ'で表す。
> a(λ') は唯一つ定まる元ですから, { a(λ') ∈ X; a ∈ B} という
> 集合にすることはありません.

でも色々なBの元aに対してλ'の像a(λ')は決まりますよね?

> a(λ') を「 a ∈ Π_{λ∈Λ} A_λ の」
> A_λ' への射影と呼び, 更に,
> 直積集合 Π_{λ∈Λ} A_λ の各元 a に対して A_λ' への射影 a(λ') を
> 対応させる写像を proj_λ': Π_{λ∈Λ} A_λ → A_λ' で表す
> わけです. (この写像も射影と呼ばれます.)

うーん,つまりf∈Map(B,∪_{λ∈Λ}A_λ);B∋∀a→f(a):=a(λ')をproj_λ':=fと定義し,
この写像proj_λ'もλ'∈ΛのBによる∪_{λ∈Λ}A_λへの射影に呼ぶのですね。

>> つまり,(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が果たして集合になるかという事ですね。
> それは勿論問題なのですが, ここで言っているのはそうではありません.

これもそうでした。

>> もし有限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…,a_c^(n))なら
>> 対集合の公理と和集合の公理を繰り返し使えば
>> (a_c',a_c,a_c'',a_c''',…,a_c^(n))が集合になる事は言えますよね。
> 対集合の公理を繰り返し使えば,
>  (a_c, a_c', a_c'', ... , a_c^{(n)})
>  = (…((a_c, a_c'), a_c'')…, a_c^{(n)}) という
> 一つの存在が集合であることは言えますが,
> そのことから,
> それらを「全て集めた」集合 A_1×A_2×A_3×…×A_n
>  = (…((A_1×A_2)×A_3)…×A_n) が集合になることが
> 導かれるわけではありません.

あー、やっと意味が分かりました。

> で, 和集合の公理をどう使うのですか.

えーと,それら任意の元らをyとすると{y}も{{y}}集合となりますよね(∵対集合の公理)。
すると和集合の公理(Yを集合とすると、Y の全ての元の合併Z、つまりZ の元はすべてYの元の元となるような集合が存在する)より
{{y}}をYと見立てると全yからなる集合Zが存在しますよね。
これはA_1×A_2×A_3×…×A_nになっているのではないでしょうかな?

>> でも無限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が集合になる事は
>> 選択公理を使わないと集合である事が言えないのですね。
> そうではなくて, 無限組が一つは存在することを保証するのが
> 選択公理です.

そうでしたね。でもこれももし無限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が集合になる事が言えたなら,
上記のように和集合の公理を使えば A_1×A_2×A_3×…が集合となる事は言えませんでしょうか?

>>http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/transfinite_i...
>> は完全に間違いなのでしょうか?
> はい, 完全に間違いです.

そうでしたか。すいません。

>> 直積集合の定義は選択公理を使って定義してしまえば
>> 超限帰納法など持ち出す必要は無いのですね。
> ですから, 直積集合の定義には選択公理は必要ありません.
> それが一般に空集合でないことを示すのに
> 選択公理が使われます

そうでしたね。
選択公理は各直積因子が非空の時,直積集合が非空である事を保障するというだけの事ですね。

> ましてや超限帰納法を持ち出す必要はありませんが,
> ともあれ, 貴方の超限帰納法の理解は間違っています.

そうでしたか。失礼致しました。

>> これはつまり(a_c,a_c',…,a_c^(n))が集合になる事と
>> (a_c,a_c',…)とが集合になる事とは意味が異なるという事でしょうか?
> これについては上で説明しました.

そうでした。

>>> 超限帰納法では, 「極限基数」のところでどうなるか,
> これは失礼しました. 「極限順序数」の誤りです.

そうでしたか。了解です。

>> すいません。どのように注意すればいいのでしょうか?
> 「順序数 α で P(α) が成立すれば,
> 順序数 α+1 でも P(α+1) が成立する」を示して確かめられるのは,
> 「後続順序数」γ = γ' + 1 のところでの超限帰納法の仮定
> 「任意の順序数 β < γ = γ' + 1 のところで P(β) が成立すれば,
> (特に γ' < γ' + 1 のところで P(γ') が成立しているので,)
>  γ = γ' + 1 で P(γ) が成立している」が成立していることだけです.
> 「極限順序数」γ のところで超限帰納法の仮定が
> 成立していることを示すには,
> ( γ = γ' + 1 となる γ' は存在しませんから,)
> 別の議論が必要です.

うーん、これはちょっと考えてみたいと思います。

>> 写像全体では写像全体の部分集合ですか。
>> ここの部分集合のところがいまいち分からないのですが。
>> 写像全体ではダメなのですよね。
> ですから, Map(Λ, ∪_{λ ∈ Λ} A_λ) 全体ではなく,
>  { a ∈ Map(Λ, ∪_{λ ∈ Λ} A_λ) ; ∀ λ ∈ Λ, a(λ) ∈ A_λ } という
> その部分集合を取ることになります.

これは納得です。有難うございます。

>> 直積集合はち射影を使っても定義されうるのですね。
> 上のように書く代わりに,
> 部分集合 F ⊂ Map(Λ, ∪_{λ ∈ Λ} A_λ) として
>  F = ∩_{α ∈ A} (π_α)^{-1}(E_α) を取って,

この定義はとても参考になります。