ご回答誠に有難うございます。


>> うーん,つまりf∈Map(B,∪_{λ∈Λ}A_λ);B∋∀a→f(a):=a(λ')をproj_λ':=fと定義し,
>> この写像proj_λ'もλ'∈ΛのBによる∪_{λ∈Λ}A_λへの射影に呼ぶのですね。
> 普通, γ' ∈ Λ による B の ∪_{λ∈Λ} A_λ への射影とか,
>  γ' ∈ Λ についての B から ∪_{λ∈Λ} A_λ への射影とか
> 表現するものでしょう.

有難うございます。

>> えーと,それら任意の元らをyとすると{y}も{{y}}集合となりますよね
>> (∵対集合の公理)。
> 対集合の公理が言っているのは,
> 任意の一つの元(集合) y について,
>  {y} や {{y}} が集合となることだけです.

やはりそうでしたか。

> # 任意の元(集合) x, 任意の元(集合) y について,
> # その順序対 (x, y) = { {x}, {x, y} } も集合, つまり,
> # 集合論で扱える対象, であることが言えるだけ.
> # X × Y = { (x, y) ; x ∈ X, y ∈ Y } についての公理ではない.

了解いたしました。

>> すると和集合の公理
>> (Yを集合とすると、Y の全ての元の合併Z、
>> つまりZ の元はすべてYの元の元となるような集合が存在する)より
>> {{y}}をYと見立てると全yからなる集合Zが存在しますよね。
>  Y = {{y}} なら Z = {y} ですね.
> 全 y というのは, 要するに y ひとつです.
> ここでは何も新しい集合は出来てきません.

そっそうですね。

>> これはA_1×A_2×A_3×…×A_nになっているのではないでしょうかな?
> なりませんね.

ふーむ。

>> そうでしたね。でもこれももし無限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が
>> 集合になる事が言えたなら,
>> 上記のように和集合の公理を使えば A_1×A_2×A_3×…が集合となる事は
>> 言えませんでしょうか?
> 言えません.

了解です。

>  A × B という集合の存在には,
> 対集合の公理, 和集合の公理だけでなく,
> 冪集合の公理と置換公理・分出公理も必要となることでしょう.

「集合Yの部分集合全体を集合とする。これを冪集合と呼び2^Yと書く」
が冪集合の公理ですね。

そして
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/category/axiom_of_comprehensive.JPG
という具合に置換公理から分出公理を導けました。
そこでy∈Y,z∈Zの時,(y,z)={{y},{y,z}}∈2^{2^{Y∪Z}}なので(y,z)は集合である(∵対集合の公理)。
よって,{(y,z)∈2^{2^{Y∪Z}};y∈Y,z∈Z}も集合となる(∵分出公理「yが集合ならば{w∈y;P(w)}も集合とする」)
で,{(y,z)∈2^{2^{Y∪Z}};y∈Y,z∈Z}はY×Zの事なので(∵直積集合の定義)
Y×Zは集合である事が分かる。

よってA×Bは集合となりますよね。
よって数学的帰納法をを使えばA_1×A_2×…×A_nは集合である事が導けますね。

同様にA_1×A_2×… も分出公理から集合である事が言えるのですね。