工繊大の塚本です.

In article <59139342-265d-4dda-a9a4-f34ee4e7e164@k9g2000pra.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Cantor集合Cの構築で,残った部分の点を3進展開で表すとΣ_{i=1}^∞2c_i/3^i
> (但し,c_iは0か1)
> そして,[0,1]の任意の点を2進展開で表すと,
> _{i=1}^∞c_i/3^i (但し,c_iは0か1)と表せる。
! Σ_{i=1}^∞ c_i/2^i
> よってΦ:C→[0,1]をC∋∀Σ_{i=1}^∞2c_i/3^i→Σ_{i=1}^∞c_i/2^iと
> 定義するとΦは全単射となるので
> #C=#[0,1]=アレフ
> でCは非可算集合となりますね。

ちょっと微妙ですね. 点 1/3 ∈ C は 3 進展開で
 1/3 = 0.0222… ですから, Φ(1/3) = 0.0111… = 0.1 (2 進)
であり, 2/3 ∈ C は 3 進展開で 2/3 = 0.2 ですから,
 Φ(2/3) = 0.1 (2 進) で, Φ は全単射ではありません.
全単射でない点は可算個なので, C は確かに非可算集合ですが.

 N を 自然数全体として, {0, 1}^N, つまり, 文字 0 又は 1 の
無限列を考えます. x = { a_1, a_2, a_3, ... } について,
 I_{x, n} = [Σ_{k=1}^n 2 a_k/3^k, Σ_{k=1}^n 2 a_k/3^k + 1/3^n]
により減少する閉区間列を対応させると,
 Ψ(x) = ∩_{n=1}^∞ I_{x, n} ∈ C が決まります.
 Ψ は {0, 1}^N から C への全単射です.
 I_{x, n} は n 回目の開区間の取り除きで残った 2^n 個の
閉区間の一つを x によって選んでいるわけです.
 a_n = 0 なら左の区間を, a_n = 1 なら右の区間を, というように.
これが普通の議論だと思います.

 Sierpinski triangle の場合は { 0, 1, 2 }^N を考えて,
 x = { a_1, a_2, a_3, ... } ∈ { 0, 1, 2 }^N について,
減少する閉三角形列 T_{x, n} を対応させ,
 Ψ(x) = ∩_{n=1}^∞ T_{x, n} ∈ S
により { 0, 1, 2 }^N から S への全射 Ψ を作ります.
 T_{x, n} は n 回目の開三角形の取り除きで残った 3^n 個の
閉三角形の一つを x によって選ぶわけです.
 a_n が, 0 なら左下, 1 なら右下, 2 なら上, というように.
残念ながら Ψ は単射ではありませんが,
 x ≠ y であるのに Ψ(x) = Ψ(y) となるのは
 Ψ(x) がどれかの小三角形の頂点になっている場合であることが
分かりますので, そのようなものは可算個しかありません.

これが証明の概要です.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/measure_theory/self_similar_20090515.jpg
> のように対応するのですね。

その図は変ですね. S_1, S_2, S_3 は r = 1/2 の縮小写像
であるのに, 2 倍にして写しているように見えます.

> 飽くまで,第0世代と第1世代はこの図のようになっているでしょうが
> Sierpinski triangle Sは極限図形ですから,上記の図のように
> なっているかは分かりませんよね。
> その場合はどうすればいいのでしょうか?

 S の点を Ψ(x) と表しておくと, S_1(Ψ(x)) = Ψ({0, x}),
 S_2(Ψ(x)) = Ψ({2, x}), S_3(Ψ(x)) = Ψ({1, x}) と
なります. ここで, x = { a_1, a_2, a_3, ... } に対して,
 {0, x} = { 0, a_1, a_2, a_3, ... } などとしています.
この説明で分かりますか?
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp